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主要内容

等价关系

等效陈述

在继续之前，重要的是要记住以下陈述是等效的

$A \equiv B (mod C)$ ‍
$A mod C = B mod C$ ‍
$C | (A - B)$ ‍ ( | 符号意味着整除，或者前者是后者的因子)
$A = B + K \cdot C$ ‍ （其中 $K$ ‍ 为整数）

现在我们可以在不同形式之间来回转换，表达相同的意思。

例如以下是等效的：

$13 \equiv 23 (mod 5)$ ‍
$13 mod 5 = 23 mod 5$ ‍
$5 | (13 - 23)$ ‍， $(5 | - 10$ ‍，因为 $5 \times (- 2) = - 10)$ ‍
$13 = 23 + K \cdot 5$ ‍。 $K = - 2$ ‍ 时可以满足： $13 = 23 + (- 2) \times 5$ ‍

同余是一种等价关系

明白前一个例子中使用的切片具有以下属性：

切片中的每对值都互相关联
我们永远不会在一个以上的切片中找到同一个值（切片互不相交）
如果我们将所有切片合在一起，它们就会形成一个包含所有值的饼图

具有这些属性的切片的饼图有 等价关系。
等价关系 定义了我们如何能够将我们的饼图（我们如何分配一组值）分割成切片（等价类）。

一般而言，等价关系必须具有这些属性：

饼图：集合了 我们感兴趣的所有值
饼图的一个切片：一个 等价类
我们如何将饼图分割成切片：等价关系

具体说，我们以前的例子：

饼图： 所有整数的集合
标记为 $B$ ‍ 的饼图切片：等价类为所有 $mod C = B$ ‍ 的值
我们如何将饼图分割成切片：使用 模 C 同余 关系， $\equiv (mod C)$ ‍

这就是为什么我们说 模 C 同余是一个等价关系。它将整数划分为 C 个不同等价类。

我们为什么关注模 C 同余是一种等价关系？

知道模 C 同余是一个等价关系，让我们明白它必须具有的一些属性。
等价关系是具有以下属性的关系：

具有反射性：A与A有关
具有 对称性：如果A与B有关，那么B与A有关。
具有 传递性：如果A与B有关且B与C有关，那么A与C有关。

因为 同余模数是（mod C）的等价关系。这意味着：

$A \equiv A (mod C)$ ‍
如果 $A \equiv B (mod C)$ ‍ 那么 $B \equiv A (mod C)$ ‍
如果 $A \equiv B (mod C)$ ‍ 且 $B \equiv D (mod C)$ ‍ 那么 $A \equiv D (mod C)$ ‍

例题

让我们使用

mod 5

将这些属性应用到一个具体的示例中。

$3 \equiv 3 (mod 5)$ ‍ (反射性)
如果 $3 \equiv 8 (mod 5)$ ‍ 那么 $8 \equiv 3 (mod 5)$ ‍ (对称性)
如果 $3 \equiv 8 (mod 5)$ ‍ 且如果 $8 \equiv 18 (mod 5)$ ‍ 那么 $3 \equiv 18 (mod 5)$ ‍ (传递性)

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