模的乘法

(A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C

让 A=4, B=7, C=6

让我们验证：(A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C

LHS= 等式的左边

LHS= 等式的右边

LHS = (A * B) mod C

LHS = (4 * 7) mod 6

LHS = 28 mod 6

LHS = 4

RHS = (A mod C * B mod C) mod C

RHS = (4 mod 6 * 7 mod 6) mod 6

RHS = (4 * 1) mod 6

RHS = 4 mod 6

RHS = 4

我们将证明 (A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C

我们必须证明 LHS = RHS

根据 商余理论 我们可以将 A与B 写为：

A = C * Q1 + R1 其中 0 ≤ R1 < C 并且 Q1 为整数。 A mod C = R1

B = C * Q2 + R2 其中 0 ≤ R2 < C 并且 Q2 为整数。 B mod C = R2

LHS = ((C * Q1 + R1 ) * (C * Q2 + R2) ) mod C

LHS = (C * C * Q1 * Q2 + C * Q1 * R2 + C * Q2 * R1 + R1 * R 2 )  mod C

LHS = (C * (C * Q1 * Q2 + Q1 * R2 + Q2 * R1)  + R1 * R 2 )  mod C

我们可以利用mod C消除C的倍数

LHS = (R1 * R2) mod C

接着让我们继续 RHS

RHS = (A mod C * B mod C) mod C

RHS = (R1 * R2 ) mod C

因此 RHS = LHS