𝑒 作为极限

旁白：在前面的视频中 当我们在观察一个简单的 关于复利的例子，我们得出了计算式为 （1+1/n)的n次方，之所以我们得到这个公式， 是我们在一个实例中，一个放高利贷的人收取 100%的利息，也就是这个1代表的意思 如果每年只收取复利一次 也就是一年只收取100%的利息，那么n为1 那么，您的利息就为（1+100%/1）的1次方 您就要本息还回 相当于你的本金2倍的钱 如果n=2，这个公式就为（1+1/2）的2次方，得到2.25 如果您将利息减半来计算复利 那么100%/2，但是您记复利2次， 那么我们一直这么复利下去 我们会看到有趣的事情发生 我在这里重新做一次 用这个计算器 我想知道当我们的n 变得越来越大时， 在前一个视频中，我们最大的n=365 然后最终的值就趋向于一个神奇的数 现在，我想再把n变大 那么，我们输入一些特别大的数 1+1/1,000,000，然后要计算其1百万次方 （1+1/1,000,000)的1,000,000次方 这里有多少个0，我写对了吗 对的，我写对了 在我按回车键之前，想想这会非常期待的 想想会发生什么 我们看到的这个部分 当n变得越来越大时，它会 越来越接近1，但是一直不会精准到1 这里是1+1/1,000,000 所以它特别接近1，但是又不是1 我们要来把这个数再来开1百万次方 通常情况下，当一个数来 开一百万次方，那么这个数 就会变得无限大，就会得到一个非常大的数 但是这里有一个线索，1的1百万次方还是1 如果我们有一个非常接近1的数 那么可能结果也不会是一个无限大的数 当我们计算出的时候，我们就会知道的确是 结果是2.71828...... 现在，我们再做大一点的数 我们来做，实际上 我现在用科学计数法来做 我们来做(1+1/1'10^7)^1'10^7 那么我们得到的是什么 我们得到的是2.718281692 我们再来做一个更大的数 我们再来输入最后一个数 我们与其来做7次方的数 我们再来做一个8次方的数 所以现在我们来做(1+1/100,000,000^100,000,000) 我都不知道这个数是不是已经超出了计算机的计算范畴 我们得到的数是2.71828181487 您可以看到的是，我们快速的接近 或许不是那么的快速，我们要把方次 提高到一个相当大的数，才能得到数字e 得到我们计算器里面的数字e 您可以看到我们已经得到了7位数字 小数点右边的7位数字 是通过将括号里的数开一亿次方得来 然后，我们已经接近这个数字了 我们已经很接近了，所以有一种方法来讨论就是 当n接近无限大的时候 当n变得越来越大时，它不会变成一个没有边界的数 不会是一个无穷大 而是接近这个数 我们称这个数 我们称这个魔力般的数或者说神秘的数为e 我们把这个数命名为e 我们可以在计算器上找到这个数 这个数和其他类似的数，比如几乎和 Pi这样的数一样有名 我们得到了2.7182818...这个数，然后这个数会无限 继续下去 永不重复，是一个无限数 数里面的每一位数永远不重复 就像Pi，您知道Pi，就是圆 的周长与圆的直径的比率 而数字e也是一个神奇的数 属于宇宙中里神奇的数 在可汗学院的其他视频中 我们会更深入的学习，了解到为什么这些数会既神奇又神秘 这个视频已经了解了它的神奇 我可以将其方次扩大到无限... 如果我用1加1除以某个数n 然后做n的方次运算，并将n 逐步变大再变大，它就会 逐步趋向这个数，可是更加神奇的是 我们可以看到的这个数 也就是您可以看到，其中的一种方法是 从复利计算中得出这个数 而Pi这样的数，是一个虚数 我们定义虚数为它的平方是 负1 它们这些数都符合非常神奇 而且神秘的定义 我们在将来的视频中又会看到这些数 但是仅仅作为e而言 您可以想象到发生了什么 又回到我们前面的这个实例里 借一元钱，在一年里面收取100%的利息 当我们的n是1，意味着您在一个时间区间里 收取一次利息 当n等于2，您在2个时间区间里收取利息 也就是收取复利2次 当n等于3时，您收取复利3次 当n接近无限时 每十亿分之一秒复利一次 而当您进行复利的时候 您只收取一个非常非常小的利息 但是您就是不停的做下去，最终当您接近 一个无限大的不间断时间区间 您就会得到这个数