求解相似三角形：同一条边扮演不同的角色

这道题要求计算BC边 的长度 这里已知有几个三角形和它们的一些边长 还有几个直角 我们大概需要在某些三角形之间建立一些 相似关系 事实上我能看到三个不同的三角形 这个三角形 这个三角形 还有这个大三角形 如果我们能在这儿建立一些相似关系 或许就能利用对应边的比例关系 计算出BC边的长 那么我们看 这有一个直角 然后在三角形BDC中 也有一个直角 在三角形ABC中 又有一个直角 假如我们 能够证明出它们还有的一个公共角 或者另外的一组对应角 相等的话 那就能证明它们是相似的 事实上 这两个三角形 BDC和ABC 共有这个角 那么如果它们共有这个角 它们就有两组角相等 它们是在那儿有个公共角 让我换一种颜色 把这个角与那些直角区别开 它们在那儿有个公共角 所以我们得出 这两个三角形 它们至少有两组角 至少有两组相等的角 它们是相似的三角形 我们知道那个三角形 我这样写 三角形ABC 我们从这个没有标注的角开始写 然后写这个黄色的直角 再到橙色的角 让我这样写 从未标记的这个角 到橙色角 或者是黄色角 哦 我不太擅长使用颜色 应该是到橙色的角ABC 这儿我们要仔细地写 因为同一个点或者顶点 在不同的三角形中 可能并不是对应的 我们得确保相似三角形是对应书写的 白色的顶点 到90度的顶点 然后到橙色的顶点 它相似于 三角形 哪一个顶点 既不是直角顶点 我们是在看这个小三角形 哪一个顶点 既不是直角 也不是橙色的角 那么它应该是顶点B 顶点B对应着正确的角 大家在考虑这个大的三角形时 我们还没有考虑到 那边的那个小角 所以我们从B顶点开始 然后到这个直角 直角的顶点D 顶点D 再到橙色的顶点C 我们已经证明出它们是相似的了 既然我们已经知道 它们是相似的 我们就能试着列出对应边的比例关系 让我们好好想一想 我们知道AC的长度 应该是6加2等于8 所以我们得出了AC 在相似三角形中 AC的对应边是哪一个呢 可以通过观察字母的对应 A和C 对应B和C 分别是第一个和第三个 第一个和第三个 AC边对应BC边 哦 这很有趣 因为我们已经用到了BC 接着对应的是什么呢 让我们看看大三角形里面的BC 如果看大三角形中BC的话 BC在小三角形里面应该对应哪个边呢 应该对应DC边 这很不错 因为我们已经知道了AC和DC的长度 这样我们就可以解出BC 所以我再写一步 回顾一下我们刚刚都做了什么 因为BC边有两个角色 从这里的第一句话得出 我们认为BC边 在这个小三角形中的BC边对应大三角形的AC边 然后从第二句话中 在大三角形 中的BC边与小三角形中的DC边是对应的 在这两种情况下 这些是我们的大三角形 这个是小三角形的 对应的边 这是个有趣的问题 因为BC边扮演了两个不同的角色 在这两个三角形中 现在我们已经有了足够的信息来算BC边 我们知道AC边是9 哦对不起 是AC边等于8 AC边等于8 6加上2等于8 并且DC边等于2 这是已知的 现在我们交叉相乘 8乘以2是16 BC边乘以BC边等于BC边长的平方 因此BC的边长应该等于16的平方根 是4 BC边等于4 我们做完了 这道题最难的部分就是发现BC在两个不同的三角形中 扮演不同的角色 只需要让你们的大脑 让你们的大脑直接专注于这两个不同的角色 为了让它清楚一点 让我把这两个三角形分别画出来 如果我把三角形ABC画出来 它应该是这样的 它应该是这样 所以这是我的三角形ABC 这是一个直角 这是我们橙色的角 我们知道这个边的边长是8 我们也知道这个边的边长 通过这个问题我们知道了是4 然后我们来画三角形BDC 像这样画 三角形BDC 应该是这样的 这就是三角形BDC 这样看起来更容易些 因为我们已经把它分离出来了 这是我们的直角 这是那个橙色的角 这个长是4 这个是2 我这样做是为了让你们能够把这个三角形 翻过来并旋转它 让它们的方向一致 这样他们就看起来更清楚了 如果你觉得这部分有点迷糊 我鼓励你试着去翻转并旋转三角形BDC 让它看起来更像三角形ABC 这样的话 这个比例看起来能更加明显