求解相似三角形：同一条边扮演不同的角色

这道题要求计算 BC 边的长度 这里已知有几个三角形和一些边长 其中有几个直角 我们大概需要在找一些相似三角形 事实上有三个不同的三角形 这个，这个，还有这个大三角形 如果我们能找到相似三角形， 就能利用对应边的比例关系 计算出 BC 边的长 我们看，这有一个直角 在三角形 BDC 中有一个直角 在三角形 ABC 中也有一个直角 假如还能找出一组公共角 或者另外的一组对应角相等的话 那就能证明它们相似 事实上，这两个三角形 BDC 和 ABC 共有这个角 这是个公共角，这样它们就有两组角相等 它们是在那儿有个公共角 让我换一种颜色 把这个角与那些直角区别开 它们在那儿有个公共角 所以我们得出 这两个三角形 它们至少有两组角 至少有两组相等的角 它们是相似的三角形 我们知道三角形，我这样写 三角形 ABC 我们从这个没有标注的角开始写 然后黄色的直角 再到橙色的角 让我这样写 未标记的这个角A 到橙色角，错了是黄色角 B 我不擅长颜色 到橙色角C，三角形 ABC 这儿我们要仔细地写 因为同一个点在不同的三角形中 可能并不是对应的 我们要对应着写 白色的顶点，然后是直角点，然后橙色点 它相似于， 哪一个点，既不是直角顶点—— 我们是在看这个小三角形 哪一个顶点，既不是直角 也不是橙色的角？应该是顶点 B 在大三角形中，顶点 B 是直角 当时我们没考虑这个小角 所以我们从 B 点开始，然后是直角 直角点 D，顶点 D 再到橙色点 C 我们已经证明出它们是相似的了 既然我们已经知道它们相似， 我们就能列出对应边的比例关系 我们来考虑，我们知道 AC 的长度 是 6 加 2 等于 8 我们已经算出 AC， 在相似三角形中 AC 与谁对应呢？ 可以通过观察字母的对应 A 和 C 对应 B 和 C 第一个字母第三个字母 AC 边对应 BC 边 这里有点意思， 因为我们已经用到了BC 接着对应的是什么呢 让我们看看大三角形里面的BC 如果看大三角形中BC的话 BC在小三角形里面应该对应哪个边呢 应该对应DC边 这很不错 因为我们已经知道了AC和DC的长度 这样我们就可以解出BC 我再说一遍这个式子 这里 BC 是两个角色 第一个比例是来自 我们认为BC边 小三角形中的 BC 边对应大三角形的 AC 边 然后第二个比例是来自， 大三角形中的 BC 边与 小三角形中的 DC 边对应 在这两种情况下 这些是我们的大三角形 这个是小三角形的对应边 有趣的是，BC 在两个三角形中 扮演了两个不同的角色 现在可以算 BC 的长度了 我们知道 AC 是 9 对不起，AC 等于 8 AC 等于 8 6 加 2 是 8 并且 DC 等于 2，这是已知的 现在我们交叉相乘 8 乘以 2 是 16， BC 乘以 BC 等于 BC 的平方 因此 BC 的边长应该等于 16 的平方根，是 4 BC 边长为 4，搞定。 这道题最难的部分在于 BC 在两个三角形中扮演不同的角色 让你们的大脑仔细分辨这个不同 我把这两个三角形分别画出来 三角形 ABC 画出来应该是这样的 它应该是这样 这是三角形 ABC 这是直角 这是橙色角 我们知道这个边的边长是 8 我们也知道这个边长 我们解出来了，是 4 然后我们来画三角形 BDC， 三角形 BDC 应该是这样的 这就是三角形 BDC 这样看起来更容易些 分开看的更清楚 这是我们的直角 这是那个橙色的角，这个长是 4 这个是 2 这样画是为了 方便把这个三角形翻过来再旋转一下 让它们的方向一致 这样就看得更清楚了 如果你还觉得有点迷糊 你可以尝试翻转并旋转三角形 BDC 让它看起来更像三角形 ABC 这样的话，比例看起来更明显