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主要内容

代数基础

课程: 代数基础 > 单元 4

课程 6: 斜截式:入门
数学
代数基础
绘制线条和斜率
斜截式:入门
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斜截式：入门

Google课堂
学习双变量方程的斜截式以及如何通过解释它来找出直线的斜率和y截距。

学习这节课之前你应该熟悉的概念

  • 你应该知道双变量线性方程是什么. 准确来说,你应该知道这种方程的图像是一条直线.如果对你来说这是新知识,请查看双变量方程：入门.
  • 同样的,你应该熟悉以下线性方程的性质: y截距和x截距和 斜率.

本课内容

  • 什么是双变量方程的 斜截式
  • 如何通过一条直线的斜截式方程来找出它的斜率和y截距
  • 如何通过给定的斜率和y截距找出一条直线的方程

什么是斜截式？

斜截式 是线性方程的一种特定形式.它有以下的大概结构.
y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f
在这里,start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6和start color #0d923f, b, end color #0d923f可以是任意两个实数.比如,这些是写成斜截式的线性方程:
另一方面,这些线性方程则不是以斜截式表现的:
  • 2, x, plus, 3, y, equals, 5
  • y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
  • x, equals, 4, y, minus, 7
斜截式是线性方程中最为突出的一种形式.让我们深入地了解这是为什么吧.

斜截式的系数

除了简洁和简单, 斜截式的优点在于它给出了它所代表的线的两个主要特征:
  • 斜率是start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6.
  • y截距的y轴坐标是start color #0d923f, b, end color #0d923f. 换言之, 这条线的y截距为left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, b, end color #0d923f, right parenthesis.
例如, 直线y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f的斜率是start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, 而它的y截距为left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis:
这个形式之所以被称之为斜截式就是因为它给出了斜率和y截距!

检查你对内容的理解

问题1
直线 y, equals, 5, x, minus, 7 的斜率是多少?
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题2
直线 y, equals, x, plus, 9 的斜率是多少?
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题3
直线 y, equals, minus, 6, x, minus, 11 的 y截距是多少?
选出正确答案：

问题 4
直线 y, equals, 4, x 的 y截距是多少?
选出正确答案：

问题5
直线 y, equals, 1, minus, 8, x 的斜率是多少?
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题6
哪条线在点left parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesis有一个y截距?
选择所有正确的答案:

反思题
如何找到一条以斜截式给出的直线的斜率?
选出正确答案：

挑战题1
以下哪一项可以是这条线的等式?
选出正确答案：

挑战题 2
写出一条斜率为10, y截距为left parenthesis, 0, comma, minus, 20, right parenthesis的直线的方程。

为什么这个方法可以因式分解多项式？

你可能在想, 在斜截式中, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6怎么就给出了斜率, 而start color #0d923f, b, end color #0d923f 怎么就给出了y截距.
这是某种魔术吗? 这当然不是魔术了. 在数学里, 这总是有解释的. 在本节中, 我们将会以y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f为例来探索这个特性.

为什么start color #0d923f, b, end color #0d923f给出了y截距

在y截距时, x值总是为零. 所以若我们想找出y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f的y截距, 我们应该将x, equals, 0代入并求解y.
y=2x+1=2⋅0+1代入 x=0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{\text{代入 }x=0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
我们可以看到在y截距时, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x变为零, 因此我们得出了y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f.

为什么start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6给出了斜率

让我们回想一下斜率是什么. 斜率是一条线上任意两点之间y的变化率除以x的变化率.
start text, 斜, 率, end text, equals, start fraction, y, start text, 值, 的, 变, 化, end text, divided by, x, start text, 值, 的, 变, 化, end text, end fraction
如果我们取两个x的变化正好是1个单位的点, 那么y的变化将会等于斜率本身.
start text, 斜, 率, end text, equals, start fraction, start text, 变, 化, end text, y, divided by, 1, end fraction, equals, start text, 变, 化, end text, y
现在让我们来看一下当x值稳定地以1个单位的速度增长时, y值在方程y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f中y都发生了些什么吧.
xy
0start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f
1start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
2start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
3start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
4start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
我们可以看到每当x增长1个单位, y也会增长start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6个单位. 这是因为x在y的计算当中决定了start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6的乘法次数.
如上所示, y对应x的1个单位的变化是等于这条线的斜率的. 因此, 斜率为start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
挑战题 3
写出这条线的方程。
y, equals

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