斜截式：入门

有很多方法可以 表示一个直线方程。 比如，你有一个直线方程 y 等于 2x 加 3， 这本身就是一种形式， 但我还能用无限多种形式来表示它。 我们看，我可以 两边同时减 2x， 我可以写成 -2x 加 y 等于 3。 我可以任意变形， 形式怎么变都可以， 整个方程仍然可以保持不变。 y 减 5 等于 2 乘以 x - 1。 你来化简这个式子， 就会得到这个方程， 或者上面这个方程。 它们都是等价的， 你可以用代数运算 从一个方程变形到另一个方程。 可以有无数多种形式来 表示同一个直线方程。 但在这个视频中， 我们关注的就是这个形式， 因为这是一个非常好用的 直线方程表示形式， 我们以后会看到，这两种形式也很有用， 取决于你需要关注什么， 但今天我们只谈这个形式， 这种形式叫做斜截式， 斜率-截距-形式。 希望在后面的几分钟内， 我能给你讲清楚 为什么要叫斜截式这么古怪的名字。 在讲之前，我们先来画图。 画出它的图像， 先找到一些点， 选择一些 x 值， 要很容易能计算出 y 值的。 最简单的就是， x 等于 0， 当 x 等于 0， 2 倍的 0 还是 0， 这一项就没了， 只剩这一项， y 就等于 3。 y 等于 3。 我们来画出这个点， 在坐标系中画出这个点， 这是 y 轴， 然后我要画 x 轴， 这就是 x 轴， 实在不够直，手残党。 这就好多了， 好，这是 x 轴， 我来标记一下， 这是 x 等于 1， x 等于 2，x 等于 3， 这是 y 等于 1， y 等于 2，y 等于 3， 我可以继续标下去， 这是 y 等于 -1， 这是 x 等于 -1， -2， -3， 然后继续下去。 这个点，（0，3） 就是 x 等于 0，y 等于 3， 那么这个点，就表示 当 x 等于 0 时， y 等于 3，这个点。 位置就在 y 轴上。 如果有一条直线过这个点， 这个点在这条直线上， 那么这就是它的 y 截距。 我们这样来理解， 它叫斜截式， 就是因为这个形式很容易 看得出它的 y 截距。 当它写成这个形式， y 截距直接就出现了， 当 x 等于 0 时， y 等于 3 就是这个点，就是它的 y 截距。 从这个形式， 很容易就能看出 y 截距。 你可能会说， 它叫斜截式，那么这个形式 应该也很容易得出它的斜率吧。 正确！ 你都会抢答了。 马上我们就来说这个， 先多画出几个点， 我们让 x 一格一格增大， x 一格一格增大， 我们就可以写成 delta x， 即 x 的变化量，希腊字母 delta 这个小三角就是希腊字母 delta 表示变化量。 x 的变化量是 1， 我们每次将 x 增大 1， 那么 y 相应的增大多少？ y 的变化量是多少？ 好我们看，x 等于 1 时， 2 乘以 1 再加 3， 等于 5， 那么 y 的变化量为 2。 我们再走一步， 再把 x 增大 1， x 的变化量还是 1， 我们增大 1， 也就是把 x 从 1 变为 2， 相应的 y 的变化呢？ 当 x 等于 2 时， 2 乘以 2 等于 4， 再加 3 是 7。 y 的变化量为 2。 从 5 变为—— 当 x 从 1 增大到 2， y 从 5 增大到 7。 因此我们每将 x 增大 1， y 就增大 2。 因此对于这个直线方程， y 的变化量除以 x 的变化量 总是等于—— x 变化量为 1 时，y 的变化量为 2， 因此总是等于 2， 也就是说我们的斜率是 2. 我们在图像上加深一下理解。 当 x 等于 1，y 等于 5， 我们得把 5 标出来， 当 x 等于 1，y 等于—— 这里还需要再高一点， 把这里修改一下， 这里就是—— 我再擦掉一些， 好了， 这里就是 y 等于 4， 这里是 y 等于 5。 当 x 等于 1，y 等于 5， 就是这个点。 这条直线就是这样， 只需要两个点就能确定一条直线。 这条直线应该是这样， 我得换一个颜色， 我这条直线， 就是 就是这个样子。 我试着画出来， 我画的比例可能有点不太对， 但大致上就是这个样子。 这就是这条直线， y 等于 2x 加 3 这条直线。 而我们已知它的斜率是 2， 当 x 的变化量为 1， 当 x 的变化量为 1， y 的变化量为 2。 当 x 的变化量为 -1， 那么 y 的变化量为 -2。 图中可以看到， 我们从 0 开始 从 0 到 -1，x 减了 1， y 会变成多少呢？ 2 乘以 -1 等于 -2 再加 3 等于 1， 我们可以看到， 点（-1，1）也在直线上。 所以斜率， 即 y 与 x 变化量之比， 直线上任何两点的变化量， 一直就等于 2。 但是，你在原来的方程中能看见 2 吗？ 没问题，2 就在这里。 当你用斜截式来写直线方程， 明确的用其他部分表示 y， 即 y 等于某系数乘以 x 的一次方， 再加某个常数， 第二项就是 y 截距， 也就是说你能通过第二项， 找到直线与 y 轴的交点， 而这个 2，就是直线的斜率。 这很合理， 因为每当 x 增加 1， 都要乘以 2， 也就是 y 会增加 2。 这是你对斜截式这个概念 的第一次试水， 但你可以看到，至少是对我而言， 这是最简单的能直接想到图像的形式， 因为比如再有一个 比如再有一个直线方程， y 等于 -x 加 2。 你马上就能说， 我知道，直线与 y 轴的交点是（0，2）， 所以直线会经过 y 轴上的这个点， 然后我还知道斜率， 第一项的系数就是 -1， 所以斜率是 -1。 所以 x 每增加 1， y 都会减少 1。 x 增加 1，y 就减小 1。 如果 x 增加 2，y 就减小 2。 所以这条直线就是这样的， 我看我能不能画的好看一些， 直线就是这样， 我要画的更好一些， 我更希望用手画， 但我相信你们都明白意思， 明白就好。 这条直线应该就这样了。 因此，斜截式这种形式 能非常容易看出 y 轴截距， 也非常容易看出斜率。 这里的斜率就是 -1， 这里就是 -1， 而 y 轴截距，即与 y 轴的交点， 是 （0，2）点， 直接就可以得出， 因为这个式子直接给出了信息。