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主要内容

两边都有变量的不等式

Sal 求解不等式 -3p-7 < p+9,并在数轴上画出了解,然后检验几个值来证明解是正确的。 Sal Khan蒙特雷科技大学 创建

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题目要求我们求解p。 这里有一条不等式负3p减7 小于p加9。 所以我们要做的事是将p分离出来 放到不等式的同一边。 最好是放在左边——这样 就更容易看了。 也不一定非要这样,但我们只是想将p分离出来。 所以最好下一步就是将 右手边的这个p去掉。 我能想到的最好的方式就是 将右边的p减掉。 但当然,我们要保证 这个不等式是要一直成立的, 如果我们要对右边做些什么,我们同样 也需要对左边做同样的操作。 所以左边也要减掉p。 所以左手边是,-3p减p—— 也就是-4p。 然后还有一个-7在这里—— 小于p减去p。 这就抵消掉了。 小于9。 下一步我觉得应该做的是 去掉这个-7,或者说这个减7, 这样我们就可以更好地 把左手边的p分离出来了。 我觉得去掉这个-7的最佳做法就是 给它加上7。 这样就可以相互吊销为0了。 所以不等式两边都加上7。 -7加7相互抵消。 就剩下-4p了。 在右手边,就有9加7等于16。 然后还是小于号。 现在,分离p的最后一步 就是去掉这个-4的系数。 我能想到的去掉这个-4的最简单方式 我能想到的去掉这个-4的最简单方式 就是两边都除以-4。 所以我们将两边都除以-4。 这边就抵消掉了。 然后就剩下p。 右边也需要同样的操作。 现在,你必须要记住一件事, 因为这是一个不等式,而不是一个等式。 如果你跟不等式打交道 然后你要将不等式两边乘以或除以 一个负数,你必须要调转不等号的方向。 在这个题目里,小于号就要变为大于号, 因为我们在除以一个负数。 所以-4除以-4——相互抵消掉了。 我们得到p大于16除以-4。 也就等于-4。 我们可以将解集画出来。 然后尝试一些值 来帮助我们确认这个解集是否正确。 假设这是-5、-4、-3、 -2、-1、0。 让我把这个写的更整洁一点。 然后继续往右走。 所以我们的解不是p小于或等于, 所以我们要将-4排除掉。 p要大于-4,所以是所有大于它的值。 所以-3.9999999就符合要求了。 而-3不符合要求。 我们来尝试代入一些值 来确保这就是正确的解集。 首先我们来尝试p等于-3。 这应该是符合要求的。 根据我画的图,这是在我们的 解集里的。p等于-3大于-4。 所以我们来试一下。 我们有-3乘以-3 第一个-3是这个, 然后我们假设了p等于-3。 减7应该要小于—— 这里我们将p替换为-3。 应该要小于-3加9。 -3乘以-3是9, 减7要小于-3加9也就是6。 9减7是2。 2要小于6,当然,这是正确的。 现在我们来尝试一个肯定不符合要求的值。 我们来试试-5。 -5是不在我们解集内的。 所以它应该是不符合要求的。 我们有-3乘以-5减7。 让我们来看一下它是否小于-5加9。 -3乘以-5等于15,减7。 它应该不会小于-5加9吧。 我们只是想看一下如果p等于-5是否符合要求。 15减7是8。 所以我们得到8小于4, 肯定是不对的。 所以p等于-5不符合要求。 它的确不应该符合要求,因为它不在我们的解集内。 如果我们真的想要相当确认我们做的是对的, 我们可以尝试这个边界点。 -4应该是不符合要求的, 但它应该是符合关联等式的。 当我在说关联等式的时候, 我的意思是-4应该是要符合-3减7 等于p加9的。 它会满足这个,但不会满足这个。 因为当两边都得到相同的数值, 一样的值是不会小于一样的值的。 所以让我们来试一下。 让我们看一下-4是否至少 符合关联等式。 所以-3乘以-4减7, 这应该等于-4加9。 这里等于12减7应该要等于-4加9。 应该要等于5。 然后这个,当然,是正确的。 5的确等于5。 所以它符合关联等式。 但不满足这个。 如果你将-4代入这里—— 我希望你做一下。 其实,我们可以在这做一下。 不要这个等号,如果你将它 代入原来的不等式——让我把这些都删掉—— 它就会变成这样。 原来的不等式在这。 如果代入-4,你就会得到小于。 然后得到5小于5,但这是不对的。 但这是没问题的,因为我们并没有将它 包括到我们的解集内。 我们用的是空心圆。 如果-4是包括在内的,我们就可以将它填实了。 如果我们将-4包括在内的话 唯一的解释就是这里是大于或等于号。 所以这就应当是说不通的,因为-4 本来就不在我们的解集内。 你可以将它看作是一个边界点。