在 5:31, 月亮是如何足够大到挡住太阳呢？太阳不是比月亮大吗？"

额，太阳虽然比月亮大，但是它离地球远没有月亮近，月亮相对来说就会挡住阳光而不是太阳，并且日食并不是全地球都会出现

主要内容

课程: 代数基础 > 单元 7

课程 8: 分解二次表达式：完全平方

因式分解任何形式的二次表达式

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综合运用你学到的所有关于二次多项式因式分解的知识，对任何形式的二次表达式式进行因式分解。

学习本节课之前你需要了解的内容

这节课将使用以下方法：

本课内容

在本文中, 您将练习将这些方法组合在一起，来分解任何形式的二次式.

引言：因式分解方法复习

方法	例子	什么时候用这种方法？
分解最大公因数	$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x \\ = 3 x (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	如果多项式中的每一项都有一个共同的因子.
和-积形式	$\begin{aligned} x^{2} + 7 x + 12 \\ = (x + 3) (x + 4) \end{aligned}$ ‍	如果多项式的形式为 $x^{2} + b x + c$ ‍ 并且 $c$ ‍ 有两个因子的和为 $b$ ‍.
分组方法	$\begin{aligned} 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ = 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) \\ = (x + 3) (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	如果多项式的形式为 $a x^{2} + b x + c$ ‍ 并且 $a c$ ‍ 有两个因子的和为 $b$ ‍.
完全平方	$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍	如果第一项和最后一项都是完全平方，并且中间相是他们的平方根的乘积的两倍.
平方差	$\begin{aligned} x^{2} - 9 \\ = (x - 3) (x + 3) \end{aligned}$ ‍	如果表达式是两个平方的差.

把所有方法放在一起

在实践中，很少有人告诉你在遇到问题的时候用哪一种因式分解的办法.因此，为了简化分解过程，你要自己撰写一个检查表.

下面是这种检查表的一个例子，它提出了一系列问题，以确定如何对二次多项式进行因式分解.

因式分解二次表达式式

在开始因式分解之前，我们先将表达式写成标准形式.

一旦发生这种情况，你可以继续执行下列问题：

问题1：是否有公因式？
如果没有，前往问题2.如果有，提取最大公因式，然后前往问题2.

提取最大公因式是因式分解中非常重要的一个步骤，它会让数字变小.这样会更容易识别表达式的形式.

问题2：是否有平方差（即 $x^{2} - 16$ ‍ 或者 $25 x^{2} - 9$ ‍）？
如果有平方差的形式，用

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

公式对其进行分解.如果没有平方差的形式，前往问题3.

问题3：是否有三项式完全平方（即 $x^{2} - 10 x + 25$ ‍ 或者 $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍）？
如果有三项式完全平方，用公式

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

进行因式分解.如果没有，前往问题4.

问题4：

a.) 是否有形式为 $x^{2} + b x + c$ ‍的表达式？
如果没有，前往问题5.如果有，前往 b).

b.) 是否存在 $c$ ‍ 的因子相加等于 $b$ ‍？
如果有，使用和-积形式进行因式分解.如果没有，则该二次表达式不能进一步被因式分解.

问题5： 是否存在 $a c$ ‍ 的因子相加等于 $b$ ‍？
如果你已经做到了这一步，二次表达式的形式应为

a x^{2} + b x + c

，

a \neq 1

.如果存在

a c

的因子相加等于

b

，用分组法进行因式分解.如果没有，该二次表达式不能进一步被因式分解.

遵循这个清单有助于确保你已经将二次表达式完全分解！

当你 完全因式分解时，你一直进行因式分解直到所有因式不能再被分解.

例如，已知多项式

2 x^{2} - 4 x - 16

.通过提取公因数

2

可以将这个多项式分解.

$2 x^{2} - 4 x - 16 = 2 (x^{2} - 2 x - 8)$ ‍

然而这个并不是完全因式分解，因为

x^{2} - 2 x - 8

可以继续被分解.在最后一步中加入，过程如下：

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 4 x - 16 & = 2 (x^{2} - 2 x - 8) \\ = 2 (x - 4) (x + 2) \end{aligned}$ ‍

现在，我们不能继续进行因式分解，因为我们已经将多项式写成两个没有公因式的线性因子的乘积的形式.

因此，虽然

2 (x^{2} - 2 x - 8)

是

2 x^{2} - 4 x - 16

的一种因式分解，但是完全因式分解为

2 (x - 4) (x + 2)

现在让我们尝试几个例子.

例 1: 因式分解 $5 x^{2} - 80$ ‍

请注意：该表达式已经是标准形式，我们可以开始核对清单.

问题 1: 是否有公因式？
是的.

5 x^{2}

和

80

的最大公因式为

5

. 我们可以用以下方式来进行因式分解：

$5 x^{2} - 80 = 5 (x^{2} - 16)$ ‍

问题 2: 是否有平方差？
是的.

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

.我们可以运用平方差的形式来继续进行因式分解，步骤如下.

$\begin{aligned} = 5 ((x)^{2} - (4)^{2}) \\ = 5 (x + 4) (x - 4) \end{aligned}$ ‍

表达式中没有二次式.我们已经完全分解了多项式.

因此，

5 x^{2} - 80 = 5 (x + 4) (x - 4)

例 2: 因式分解 $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

该二次表达式依然是标准形式.现在让我们开始核对清单吧！

问题 1: 是否有公因式？
不.

4 x^{2}

，

12 x

和

9

没有公因式.下一个问题.

问题 2: 是否有平方差？
不. 有一个

x

，所以这个不可能是平方差. 下一个问题.

问题 3: 是否有完全平方？
是的.第一项是一个完全平方，因为

4 x^{2} = (2 x)^{2}

，最后一项也是一个完全平方，因为

9 = (3)^{2}

. 并且中间项是这两个数的乘积的两倍，因为

12 x = 2 (2 x) (3)

我们可以用完全平方的形式来分解二次式.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}$ ‍

因此，

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

例 3: 因式分解 $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍

这个二次表达式不是一般形式，我们可以将它整理为

3 x^{2} + 12 x - 63

，然后核对清单.

问题 1：是否有公因式？
是的.

3 x^{2}

，

12 x

和

63

的最大公因式是

3

.我们可以通过一下步骤进行因式分解：

$3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x^{2} + 4 x - 21)$ ‍

问题 2: 是否有平方差？
不.下一个问题.

问题 3: 是否有完全平方？
不.我们可以注意到

21

不是一个完全平方，因此这个式子也不可能是完全平方.下一个问题.

问题 4a: 是否有一个形式为 $x^{2} + b x + c$ ‍的表达式？
是的.生成的二次多项式，

x^{2} + 4 x - 21

，就是这种形式.

问题 4b: 是否存在 $c$ ‍ 的因子相加等于 $b$ ‍？
是的.

- 21

有两个因子相加等于

4

由于

7 \cdot (- 3) = - 21

并且

7 + (- 3) = 4

，我们可以继续因式分解.过程如下：

$\begin{aligned} = 3 (x^{2} + 4 x - 21) \\ = 3 (x + 7) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

因此，

3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x + 7) (x - 3)

例 4: 因式分解 $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍

注意到这个二次表达式已经是标准形式.

问题 1：是否有公因式？
是的.

4 x^{2}

，

18 x

和

10

的最大公因式是

2

.我们可以通过一下步骤进行因式分解：

$4 x^{2} + 18 x - 10 = 2 (2 x^{2} + 9 x - 5)$ ‍

问题 2: 是否有平方差？
不.下一个问题.

问题 3: 是否有完全平方？
不.下一个问题.

问题 4a: 是否有形式为 $x^{2} + b x + c$ ‍的表达式？
不.二次表达式的第一项的系数为

2

.下一个问题.

问题 5: 是否存在 $a c$ ‍ 的因子相加等于 $b$ ‍？
所产生的二次表达式为

2 x^{2} + 9 x - 5

，所以我们想要找到

2 \cdot (- 5) = - 10

的因子相加等于

9

因为

(- 1) \cdot 10 = - 10

并且

(- 1) + 10 = 9

，答案是肯定的.

我们现在可以将中间项写为

- 1 x + 10 x

并且通过分组法进行因式分解.

\begin{aligned} 2 (2 x^{2} + 9 x - 5) \\ = 2 (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) & 拆分中间项 \\ = 2 ((2 x^{2} - 1 x) + (10 x - 5)) & 分组 \\ = 2 (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) & 提出最大公因式 \\ = 2 (2 x - 1) (x + 5) & 提出 2 x - 1 \end{aligned}

检查你对内容的理解

1) 完全分解 $2 x^{2} + 4 x - 16$ ‍ .

2) 完全分解 $3 x^{2} - 60 x + 300$ ‍ .

3) 完全分解 $72 x^{2} - 2$ ‍ .

4) 完全分解 $5 x^{2} + 5 x + 15$ ‍ .

5) 完全分解 $8 x^{2} - 12 x - 8$ ‍ .

6) 完全分解 $56 - 18 x + x^{2}$ ‍ .

7) 完全分解 $3 x^{2} + 27$ ‍ .

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排序方式:

amyli0000amyli
发布于 2 年前。直接链接到 amyli0000amyli 的帖子 “在 5:31, 月亮是如何足够大到挡住太阳呢？太阳...”
在
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, 月亮是如何足够大到挡住太阳呢？太阳不是比月亮大吗？"
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答案
- Bowen Hu
  发布于 2 年前。直接链接到 Bowen Hu 的帖子 “额，太阳虽然比月亮大，但是它离地球远没有月亮近，月...”
  额，太阳虽然比月亮大，但是它离地球远没有月亮近，月亮相对来说就会挡住阳光而不是太阳，并且日食并不是全地球都会出现
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服了我为什么要留学
发布于 6 个月前。直接链接到服了我为什么要留学的帖子 “完全分解3x^2+27的答案是3(x^2+9)还是...”
完全分解3x^2+27的答案是3(x^2+9)还是3(x+3)(x-3)？我选了后者，但正确答案是前者？？
我的question太简短，请尝试将question描述更具体些
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答案
- Dexin Zhou
  发布于 2 个月前。直接链接到 Dexin Zhou 的帖子 “您可以点击“我需要帮助！”查看答案解释来理解为什么...”
  您可以点击“我需要帮助！”查看答案解释来理解为什么你做错了。
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