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课程 8: 分解二次表达式：完全平方

分解二次表达式：完全平方

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学习如何分解"完全平方"形式的二次表达式。例如，将x²+6x+9写成(x+3)².

对多项式进行因式分解需要我们将多项式写成两个或多个多项式的乘积.这是多项式乘法的相反过程.

在本文中，我们将学习如何利用特殊规律来因式分解完全平方三项式。这个方法是二项式的平方的逆向运算，所以请先熟知后者的运算方法。

介绍：分解完全平方三项式

为了展开任何二项式，我们可以运用一下公式的其中一个.

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ‍
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ‍

请注意在这些公式中，

a

和

b

可以被替代为任何的代数式.比如，假设我们想要拓展

(x + 5)^{2}

.在这里，

a = x

，

b = 5

，因此我们可以得出：

$\begin{aligned} (x + 5)^{2} & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = x^{2} + 10 x + 25 \end{aligned}$ ‍

你可以通过运用乘法来展开

(x + 5)^{2}

以检查这个公式是否正确.

这个展开过程的相反步骤就是一种因式分解 .如果我们重新以相反顺序写下这个公式，我们就会得到分解多项式的公式，即

a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ ‍

我们可以运用这个公式来分解

x^{2} + 10 x + 25

. 那么我们就会得到

a = x

和

b = 5

$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 & = x^{2} + 2 (x) (5) + (5)^{2} \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍

这种形式的表达式被称为完全平方三项式.这个名称说明了这种三项式可以被表达为一个完全平方.

让我们看看一些我们可以运用这个公式来分解完全平方三项式的例子.

例题 1: 因式分解 $x^{2} + 8 x + 16$ ‍

请注意第一项和最后一项都是完全平方.

x^{2} = (x)^{2}

，

16 = (4)^{2}

. 另外，请注意中间项是这两个被平方的数据的乘积的两倍：

2 (x) (4) = 8 x

这告诉了我们如果多项式是完全平方三项式，我们我们就可以运用如下的公式来进行因式分解.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

在这个例子中，

a = x

，

b = 4

.我们可以用如下方法进行因式分解：

\begin{aligned} x^{2} + 8 x + 16 & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = (x + 4)^{2} \end{aligned}

我们可以通过拓展

(x + 4)^{2}

:来检验答案.

\begin{aligned} (x + 4)^{2} & = (x)^{2} + 2 (x) (4) + (4)^{2} \\ = x^{2} + 8 x + 16 \end{aligned}

看看你对知识掌握得如何

1) 因式分解 $x^{2} + 6 x + 9$ ‍.

2) 因式分解 $x^{2} - 6 x + 9$ ‍.

请注意第一项和最后一项都是完全平方三项式：

x^{2} = (x)^{2}

，

9 = (3)^{2}

.除此之外，请注意中间项是这两个被平方的数据的乘积的两倍：

2 (x) (3) = 6 x

这说明该多项式是一个完全平方三项式.我们可以用如下方式分解该式：

\begin{aligned} x^{2} - 6 x + 9 & = (x)^{2} - 2 (x) (3) + (3)^{2} \\ = (x - 3)^{2} \end{aligned}

请注意既然

x

项的系数为负数，那么该二项式的次数为负数.

3) 因式分解 $x^{2} + 14 x + 49$ ‍.

例题 2: 因式分解 $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍

完全平方三项式的系数不一定要是

1

举例来说，在

4 x^{2} + 12 x + 9

中，第一项和最后一项都是完全平方：

4 x^{2} = (2 x)^{2}

，

9 = (3)^{2}

. 除此之外，请注意中间项是被平方的两个数据的乘积的两倍：

2 (2 x) (3) = 12 x

因为这满足了上述的条件，

4 x^{2} + 12 x + 9

也是一个完全平方三项式. 我们可以在此运用如下的因式分解公式：

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ‍

在这个例子中，

a = 2 x

，

b = 3

. 这个多项式的分解过程如下：

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 & = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

我们可以通过拓展

(2 x + 3)^{2}

来检查答案.

是的！我们也可以通过分组法来因式分解

4 x^{2} + 12 x + 9

让我们先通过找到

4 \cdot 9 = 36

中可以加成为

12

的因数.这两个数据分别是

6

和

6

因为

6 \cdot 6 = 36

并且

6 + 6 = 12

现在我们可以分解

12 x

并且将其展开为

6 x + 6 x

，然后使用分组法来进行多项式的因式分解：

\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 \\ = (4 x^{2} + 6 x) + (6 x + 9) & 对多项式进行分组 \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & 提取最大公因子 \\ = 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3) & 公因式 \\ = (2 x + 3) (2 x + 3) & 提取 2 x + 3 \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}

然而，请注意，事先发现

4 x^{2} + 12 x + 9

是一个完全平方三项式可以节省你很多时间！

检查你对本课的理解

4) 因式分解 $9 x^{2} + 30 x + 25$ ‍.

5) 因式分解 $4 x^{2} - 20 x + 25$ ‍.

请注意第一项和最后一项都是完全平方三项式：

4 x^{2} = (2 x)^{2}

，

25 = (5)^{2}

. 除此之外，请注意中间项是这两个被平方的数据的乘积的两倍：

2 (2 x) (5) = 20 x

这说明该多项式是一个完全平方三项式.我们可以用如下方式分解该式：

\begin{aligned} 4 x^{2} - 20 x + 25 & = (2 x)^{2} - 2 (2 x) (5) + (5)^{2} \\ = (2 x - 5)^{2} \end{aligned}

请注意既然

x

项的系数为负数，那么该二项式的次数为负数.

挑战题

6*) 因式分解 $x^{4} + 2 x^{2} + 1$ ‍.

7*) 因式分解 $9 x^{2} + 24 x y + 16 y^{2}$ ‍.

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发布于 2 年前。直接链接到 amyli0000amyli 的帖子 “在 5:31, 月亮是如何足够大到挡住太阳呢？太阳...”
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5:31
, 月亮是如何足够大到挡住太阳呢？太阳不是比月亮大吗？
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