将二次表达式分解为(x+a)(x+b)的形式

- [画外音] 所以这道题是一个二次多项式 X^2-3x-10 在这个视频里 我要把这个二次式表达成两个二项式的乘积 换种说法 就是要把它改写成一个二项式x+a 与另一个二项式x+b的乘积 待会儿我们就需要找出a和b代表什么 我鼓励你们这里暂停视频 先看看你能不能自己求出a和b 如果我们知道了a和b 能否把这个表达式改写为两个二项式的乘积？ 现在让我们一起来解这道题 我用不同颜色来代表a和b 黄色代表a，紫色代表b 一种解题思路是 我们直接用含有a和b的二项式相乘 之前的视频中我们已经演示过这种解法 你可以回顾之前二项式相乘的视频 帮助你复习这部分内容 但如果你要对这道题里 右边的部分相乘 就等于是x乘以x 也就是x^2 用a乘以x 就得到了ax 用b乘以x 就得到了bx 这里我按照步骤来做 看最后能得出什么 这是对以前内容的复习 x乘以x得到了x^2 然后a乘以x得到了ax 然后用x乘以b 我们是用每一项和其他项相乘 用x乘以b就得到了bx 加上bx 最后我们再加上a乘以b 这就是ab 再对式子进行化简 如果对二项式相乘非常熟悉的话 你也能一步得出这个结果 这里就是x^2 我们把两个系数加起来 因为这两项都是一次项 它们都含有一个x 如果我有ax，然后把bx加上去 就是(a+b)x 让我把它写下来 (a+b)x，最后要再加上常数项 我用蓝色来表示 加上ab 现在我们可以来想想 a和b具体是什么 如果做个配对游戏 我们就能看出这里是x^2 这里是x^2项 我们有x的一次项 这道题里是-3x 这里我们有x的一次项 所以一种思路是 a+b需要等于-3 它们加起来需要等于这个系数 让我把它写下来 所以就有了a+b=-3 到这里还没有解完 再来看最后这一项，这里是ab ab需要等于-10 把这写下来 ab=-10 总的来说，在进行因式分解的时候 一个二次项表达式里有一个二次的项 也就是一个系数和一个x^2项 你可能看不出但这是隐含的 你可以把这个写成x^2 一个分解的思路是求出两个数字 它们的和就等于一次项的系数 这里的两个数字加起来等于-3 如果我把同样两个数字相乘 就得到了-10 也就是说这两个数字加起来等于-3 就是这个系数 现在把它们相乘就得到了常数项 得到了这一项 两个数字相乘就得到了-10 那这两个数字是多少呢？ 相乘得到了一个负数 那就说明这两个数字符号相反 我们来看这道题要怎么思考 两个数字相加得到了一个负数 也就说明其中的负数是数值比较大的那个 如果把10进行质因数分解 10可以分解成1×10 或者2×5 2和5很有趣 因为如果它们其中一个是负数的话 它们的差就刚好是3 所以如果一个是负数 这里乘积是-10 你可以说是-2乘以5 相乘可以得到-10 但如果相加 就得到了+3 但如果你用+2乘以-5 这就有趣了，乘起来 也会得到-10 相加之后2-5 就得到了-3 我们就把这两个数字求出来了 我们可以说a=2，也可以说b=2 我这里就说a=2 b=-5 所以我们原来的表达式 就可以改写成 x^2-3x-10 我们可以说这个式子 就相当于(x+2)乘以另一项 这里不说加上-5 让我把它写下来 这边就可以直接写-5 那就是我们刚求出来的b 我可以把这一项写成(x-5)，这就做完了 我们就把这个式子变成了两个二项式的乘积 我刚才是一步一步做过来 你就能看出来这每一项是从哪里来的 但是将来你再看到二次项表达式 看到在二次项上 有一个系数 你就可以说我要求出两个数字 它们加起来等于含有x的一次项的系数 同时这两个数字的乘积 也要等于里面的常数项 在这道题里就是-10 这道题里面 两个数字符号相反 因为它们的乘积是负数 而且负数那个数值较大 因为它们相加也是负数 我们看这道题里，5和2很有意思 -5和+2 把它们相加得到了-3 把它们相乘得到了-10