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主要内容

二项式乘法介绍

Sal 将(x-4)(x+7)表达为标准三项式x²+3x-28,并说明一般形式的(x+a)(x+b)可以写成x²+(a+b)x+a*b。

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视频字幕

我们来看看如何计算 x 减四与 x 加七的乘积。 我们需要将结果化成标准二次形式, 听起来好专业的名字,其实就是这种形式: 在二次项中有某个系数 a,即 a 乘 x 平方加上 带系数 b 的一次项,bx, 再加上常数项。 这就是标准二次形式。 我们想将这个积变成这种形式, 建议你暂停视频, 试试自己能不能做出来。 好,我们开始。 计算两个二项式的乘积, 或者说任何多项式的乘积, 关键在于乘法分配律, 我们已经非常熟练的乘法分配律。 我们可以把 x 减四看作一个整体, 将这个表达式整体 分配给这个括号内的 x 和 7。 所以这就等于 x 减四乘以 x 加上 x 减四乘以 7。 我们写下来。 等于 x 减四乘以 x,或者我们可以 写作 x 乘以 x 减四。 把 x 减四分配给后面括号中的 x, 然后乘起来, 再加上七乘以 x 减四。 乘以 x 减四。 我们现在把 x 减四当做一个整体, 分配进了后一个括号内, 与其中的每一项相乘。 我们用 x 减四乘以x, 然后用 x 减四乘以七。 现在我们得到这样 这样分开的两项。 然后我们需要把每一项再乘开, 还是用分配率。 第一项里,我们将这个蓝色的 x 分配进括号, 然后第二项我们将蓝色的 7 分配进括号。 开始吧。 x 乘以 x 等于 x 平方, x 乘以,这里有个负号, x 乘以负四,等于负四 x。 也就是等于 x 平方减去四 x。 然后这边,我们有 7 乘以 x, 也就是加上 7x, 然后是 7 乘以负四, 也就是负 28。 我们差不多做完了, 只需要再化简一步。 这里有两个一次项, 如果我有负四个 x,又加上七个 x, 那么是多少呢? 这两项合起来, 这两项合并起来等于 负四加七个 x, 负四加七个 x, 负四加七个 x。 在这里,我写的很清楚, 我把这两个系数加起来, 然后其他的项也不能丢。 这里有 x 平方, x 平方加上这些,然后是 然后是负的 然后是负 28。 我们来到了最后阶段! 这里还是 x 平方, 然后是负四加七,等于三, 这里是加三 x, 中间这两项合并到一起就是 3x。 最后是负 28。 负 28。 这道题我们就做完了! 有意思的是,由于这两者是相同的形式, 比较一下,a 就是 1, b 是 3,c 是 -28, 我们来看看两个二项式相乘 所得的最后这个形式,这很有趣, 特别是两个二项式的 x 项系数都为 1, 我们就有 x 乘以 x, 在最终的结果里就是这个 x 平方项。 而这里有个负四,我换种颜色表示, 这里有负四乘以,这也不是新颜色呀, 我们有, 我们有负四乘以七, 等于负 28,这一项也有了。 那中间这个一次项怎么来的呢? 我们怎么得到 3x 的? 是负四 x 加七 x 得到的, 也就是负四加七乘以 x。 我们有负四加七, 乘以 x, 这时候你应该看出来了。 如果要计算两个二项式的乘积, 而这两个二项式的 x 项系数都是 1 的话, 结果的二次项就是 x 平方, 然后最后一项,常数项, 就等于两个二项式常数项的积, 负四乘以七。 然后一次项的系数, 就等于两个二项式常数项的和 负四加七。 多练习几道题就能把这种模式 熟练掌握了, 它能帮助你以后面对二项式相乘 的问题时做得快一点。 但是最重要的是,你得清楚 这种快捷算法是怎么来的, 它其实就来自于 两次乘法分配率。