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主要内容

利用因式分解求解二次表达式等式

学习如何求解二次方程等式,例如(x-1)(x+3)=0,以及如何利用因式分解求解其它形式的等式。

学习这节课之前你应该熟悉的概念

本课内容

到目前为止, 你已经解答了直线方程式,其中包括常数(普通数字)以及一次方的变量x1=x
你可能也解答过一些 二次方程, 其中包括变量的二次幂, 用取两边的平方根来解决问题。
在本课中, 你将学习一种解答二次方程的新方法。具体地说, 你将学习到
  • 如何解决像 (x1)(x+3)=0 这样的分解方程,还有
  • 还有如何使用因式分解的方法将二次方程(例如 x23x10=0) 变为两个因式相乘的形式并解方程。

解因式分解的一元二次方程

假设我们要求解一元二次方程(x1)(x+3)=0.
这两个因式相乘的积等于零. 注意任何使(x1) 或者 (x+3) 为零的x ,同样是它们的乘积为零.
(x1)(x+3)=0x1=0x+3=0x=1x=3
x=1 或者 x=3 代入方程都会使方程两边等于零,所以这两个都是方程的解.
现在自己来试试解一些类似的方程吧.
解方程 (x+5)(x+7)=0.
选出正确答案:

解方程 (2x1)(4x3)=0.
选出正确答案:

反思题

可以用相同的办法解方程 (x1)(x+3)=6 吗?
选出正确答案:

关于零积法则

我们怎么知道除了已得到的两个解以外就没有其他的解了呢?
答案就是根据一个非常简单但使用的法则 零积法则:
*如果已知两个数的乘积为零, 那么这两个数当中必然有一个为零. *
我们可以试着代入任何一个除了方程解以外的数字到x,都会得到两个非零数字的乘积, 结果也一定不是零。所以我们知道方程只有这两个解.

通过因式分解解方程

假设我们要解方程 x23x10=0, 我们只需要像以前一样把方程x23x10 因式分解.
x23x10 因式分解为 (x+2)(x5).
具体解题步骤如下:
x23x10=0(x+2)(x5)=0因式.
x+2=0x5=0x=2x=5
现在轮到你自己解决几个方程式了.请记住, 不同的方程要求不同的分解方法.

解方程 x2+5x=0.

步骤 1. 提取方程 x2+5x 的因式,将它分解成两个因式的乘积.

步骤 2.解方程。
选出正确答案:

解方程 x211x+28=0.

步骤 1. 提取方程 x211x+28 的因式,将它分解成两个因式的乘积.

步骤 2.解方程。
选出正确答案:

解方程 4x2+4x+1=0.

步骤 1. 提取方程 4x2+4x+1 的因式,将它分解成两个因式的乘积.

步骤 2.解方程。
选出正确答案:

解方程 3x2+11x4=0.

步骤 1. 提取方程 3x2+11x4 的因式,将它分解成两个因式的乘积.

步骤 2.解方程。
选出正确答案:

在因式分解前整理方程

等号的一边必须为零。

下面是解方程x2+2x=40x 的过程:
x2+2x=40xx2+2x40+x=0两边减40加 x.x2+3x40=0合并同类项.(x+8)(x5)=0因式分解.
x+8=0x5=0x=8x=5
在做因式分解前, 我们先整理方程, 将所有的项放在等号的一边, 使等号的另一边为零。只有这样我们才可以用因式分解的方法。

去掉公因式

下面是解方程2x212x+18=0 的过程:
2x212x+18=0x26x+9=0除以2.(x3)2=0因式分解.x3=0x=3
方程中的所有项一开始都有一个公因数2, 所以我们两边同时除以2—零的一边还是零—这样可以使后面的因式分解更容易。
现在自己来试试解一些类似的方程吧.
找出下列方程的解.
2x23x20=x2+34
选择所有正确的答案:

找出下列方程的解.
3x2+33x+30=0
选择所有正确的答案:

找出下列方程的解.
3x29x20=x2+5x+16
选择所有正确的答案:

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