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(x+a)(x-a) 形式的特殊乘积

Sal 介绍了平方差表达式。例如,(x+3)(x-3)展开为x²-9。

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视频字幕

我们来看看如何计算 x 加三乘以 x 减三,我建议你暂停视频 自己试着做一做。 自己试着做一做。 一个办法是我们面对 二项式相乘的时候经常用的办法, 简单来说就是用两次分配率搞定。 首先我们将黄色的 x 加三看作一个整体, 用这个整体分别去乘以后面括号里的两项。 首先是黄括号整体去乘以 x, 也就是 x 乘以 x 加三。 接下来,就是 这一部分乘以,注意,是乘以负三。 我们写作负三乘以, 我们写作负三乘以, x 加三。 然后我们再应用乘法分配律 然后我们再应用乘法分配律 我们将这个粉红 x 分配进 x 加三这个括号中, x 乘以 x 等于 x 平方, x 乘以三等于 3x,然后 我们在这边也做一次分配, 负三乘以 x 等于 -3x, 然后负三乘以三 等于负九。 这个式子如何化简呢? 我们有 x 平方, 然后是三 x 和负三 x, 这两项互相抵消了, 我们剩下 x 平方, 再减九。 现在你应该看出规律了, 注意这是加三和减三, 就得到了 x 平方,然后 如果把三和负三乘起来, 就会得到负九。 就会得到负九。 注意,中间的项都抵消掉了。 现在你肯定会问, 如果我这里是加上一个数, 然后减去的也是同一个数, 就都能用这个规律吗? 我们来试试。 我们来讨论一般情况, 如果我们不写 x 加三乘以 x 减三, 不写三,但我们还是同样的意思, 我们写 x 加 a, 我们写 x 加 a, 乘以 x 减 a。 我建议你暂停视频, 试着自己做一下, 你把 a 看作是某个数,比如三, 或者其他数,然后 用两遍乘法交换律,看看得到什么结果。 我们来做做看。 首先我们还是把黄色的 x 加 a 看作一个整体,分配给 x 和负a, x 加 a 乘以 x, 或者是 x 乘以 x 加 a, 我们写下来,x 乘以 x 加 a, 然后是减 a, 或者说负 a,乘以 x 加 a, 减,之后是 减 a 乘以 x 加 a。 好,刚刚我做的,是把 这个黄的一大块表达式, 作为一个整体,分配给 x 和负 a。 用这一大坨乘以 x, 然后用这一大坨再乘以负 a。 然后我们再使用乘法分配律。 x 乘以 x 等于 x 平方, x 乘以 a 等于 ax, 然后是 负 a 乘以 x 等于负 ax, 最后是负 a 乘以 a 等于 负 a 平方。 这里很重要:不管我的 a 取什么值, 这里都是 ax 和负的 ax, 所以这里一定会互相抵消。 刚才这个规律不仅在 a 等于 3 的时候适用, 对于任何 a,如果有一个 a 乘以 x, 然后减去一个 a 乘以 x,肯定是相互抵消的。 这里就会被抵消掉, 剩下什么呢? 剩下 x 的平方, 减去 a 的平方。 所以这是一个规律, 如果你看到 x 加什么东西, 乘以 x 减去同样的东西, 就等于 x 平方减去 那个东西的平方。 这是个相当好用的规律, 我们可以很快的计算 那些符合这个规律的 二项式乘法。 如果要快速计算 x 加 10,乘以 x 减 10, 你一眼就看出, 就是这个规律, 就是 x 加 a 乘以 x 减 a 的形式, 那么答案就是 x 平方减 a 平方。 现在 a 等于 10, a 的平方就等于100。 规律在手,做题超快,对不对? 规律在手,做题超快,对不对?