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代数基础

课程 2: 消元法解方程组

消元法回顾 (线性方程组)

消元法是求解线性方程组的一种方法。本文使用示例对该方法进行了回顾, 同时给您提供了尝试这一方法的机会。

消元法是解答一次方程组的一种技巧。让我们看几个例题。

求解下列方程组:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 5 y - 7 x & = 12 \end{aligned}

我们留意到，第一个方程中有一项是

7 x

，而第二个方程有一项是

- 7 x

。如果我们把这两个方程相加，那么这两项就会抵消对方——也就是说，我们将消去含有未知数

x

的项，即消元：

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ + 5 y - 7 x & = 12 \\ 7 y + 0 & = 7 \end{aligned}

解

y

，得：

\begin{aligned} 7 y + 0 & = 7 \\ 7 y & = 7 \\ y & = 1 \end{aligned}

将该值代入到我们的第一个方程中，求出另外一个未知数：

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 2 \cdot 1 + 7 x & = - 5 \\ 2 + 7 x & = - 5 \\ 7 x & = - 7 \\ x & = - 1 \end{aligned}

该方程组的解是

x = - 1

，

y = 1

。

我们可以将这些数值代入到原来的方程中来验算。让我们试试第二个方程。

\begin{aligned} 5 y - 7 x & = 12 \\ 5 \cdot 1 - 7 (- 1) & \overset{?}{=} 12 \\ 5 + 7 & = 12 \end{aligned}

是的，答案正确。

如果你不清楚这个过程的原理, 查看这个视频的进一步讲解。

求解下列方程组:

\begin{aligned} - 9 y + 4 x - 20 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

我们可以把第一个方程乘以

- 4

得出一个等同的但含有

- 16 x

项的方程。我们新的(但是等同的！) 方程组如下所示：

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

将方程式相加消去

x

项，得：

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ + - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \\ 29 y + 0 - 0 & = 0 \end{aligned}

解

y

，得：

\begin{aligned} 29 y + 0 - 0 & = 0 \\ 29 y & = 0 \\ y & = 0 \end{aligned}

将该值代入到我们的第一个方程中，求出另外一个未知数：

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ 36 \cdot 0 - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x & = - 80 \\ x & = 5 \end{aligned}

该方程组的解是

x = 5

，

y = 0

。

想看更多用消元法求解复杂问题的例题吗？查看这个视频。

问题1

解下面的方程组.

\begin{aligned} 3 x + 8 y & = 15 \\ 2 x - 8 y & = 10 \end{aligned}

x =

y =

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