方程组的解：相容与不相容

下面这个线性方程组 是相容还是不相容的呢？ 题目给了两个方程， x 加 2y 等于 13， 3x 减 y 等于 -11。 要解这道题， 先要明白相容和不相容是什么意思。 方程组至少有一个解，它就是相容的。 而不相容的方程组呢？很显然， 它就没有解。 如果我们考虑图像， 相容方程组的图像应该是什么样的？ 我来画一张草图。 这是 x 轴，这是 y 轴。 如果我有两条不同的直线，它们相交， 这就是相容的。 这是一条直线， 这是另一条直线。 很明显这是一个解， 就在它们的交点处， 这就是相容方程组。 另一种相容方程组， 是这样，两条直线重合， 这样它们就有一大堆交点， 实际上是无穷多交点。 一条直线是这样， 另一条直线与它重合。 完全重合。 它俩在线上的所有的点都相交， 所以也是相容的。 不相容的方程组是没有解的。 我再来画一个坐标系。 我要画个没有解的， 如果在二维平面上 有两条直线没有解，即不相交 那只有一种情况， 它俩平行。 所以一条直线是这样， 然后另一条直线应该有相同的斜率， 但位置不同， y 截距是不同的， 应该是这样。 不相容方程组的图像应该就像这样， 是平行线。 这就是不相容的。 我们可以画个草图， 把这两条线画出来，看看是否相交， 另一个办法，可以看它们的斜率， 如果它们斜率相同，但 y 截距不同， 那么这就是不相容的方程组。 但我还是喜欢画图。 这是 x 轴，这是 y 轴。 这里是 x，这里是 y。 有很多方法来画图， 最简单的是找到两个点， 每个方程找到两个满足它的点， 两点确定一条直线。 对于第一个，我们先来列个表， 这是 x 和 y。 当 x 等于 0，那么有 2y 等于 13， y 就等于 13/2，也就是 6 又 1/2， x 等于 0 时，y 等于 6 又 1/2。 我画在这里， 这是 0，13/2。 我们看看 y 等于 0 的情况。 当 y 等于 0，2y 就也是 0。 x 就等于 13， x 等于 13。 我们又找到点 13，0。 这是 0，6 1/2 这是 13，0 这里差不多。 我们估计一下——13，0 上面的这条线， 这条线表示了这个方程。 我试着画一画， 它大概是这样。 我们再来看另一个。 来看另一个。 我们还是做个小表格，x 和 y， 还是找两个点。 当 x 等于 0 时，3 乘以 0 为 0， 所以得到 -y 等于 -11 那么 y 就等于 11。 我们找到一个点 0，11 大概在这里。 点 0，11 在这条线上。 当 y 等于 0 时，3x 减 0 等于 -11， 也就是 3x 等于 -11， 两边除以 3， 得到 x 等于 -11/3。 也就是 -3 又 2/3， 当 y 等于 0 时，x 等于 -3 又 2/3， 这里大概是 6，所以 -3 又 2/3 大概在这。 这就是点 -11/3，0。 所以第二个方程大约是这样， 大约是这个样子。 这样很明显了 ——就算是我手画的，很不精确—— 很明显它俩是相交的。 它们的交点在这里。 要回答这道题， 你都不用找到它们的交点， 你只需要看， 很明显它俩相交。 所以这是相容的方程组。 有一个解。 有一个解就是相容的。 所以这是相容的方程组。