方程组解的个数：水果的价格 （二）

因为你和这只鸟让他在国王面前出了丑 阿贝格拉大人变得既愤怒又尴尬 他便夺门而出 可一转眼他就又冲进了屋子 他说：“是我错了” “对不起” “我现在知道错在哪里了” “我觉得题目里面有个小小的笔误” “他们第一周去菜市场” “买了2磅苹果和1磅香蕉” “总共花掉的不是3美元” “而是5美元” “既然你和这只鸟都这么聪明” “你们一定能算出来每磅苹果” “和每磅香蕉的单价是多少” 于是你思考了片刻 这道题目有解吗？ 让我们用同样的变量来分析这道题 你会想，如果设a为每磅苹果的单价 设b为每磅香蕉的单价 那么首先，2磅苹果的总价应为2a美元 因为它的单价是a美元/磅 那么1磅香蕉的总价 就是b美元，因为这个表达式是1磅×b美元/磅 两个加起来就等于5美元 这是更改过了的数字 从刚才那个小片段我们知道 这个条件没有改变 6磅苹果的总价是6a 6磅×a美元/磅 而3磅香蕉的总价是3b 3磅×b美元/磅 这次购物买的苹果和香蕉的总价 我们已经知道是15美元 所以这一次，你又可以用消元法 来试着解决这道题 你也可以再把a消去 这里有2a 这里有6a 如果我用2a×(-3) 这就变成了-6a 就能把所有含有a的项都消去了 于是你就照这个来算 你把方程两边同乘以一个数 你不能只乘其中一项 必须把方程两边各项同时乘以-3 这样才能得到等价方程 所以我们把方程两边同乘以-3 2a×(-3)=-6a b×(-3)=-3b 5×(-3)=-15 那现在看起来 有点儿不对头了 因为你把这个 蓝色（紫色）方程式的左边 和绿色方程式的左边加起来以后，得到了0 两个方程式的左边各项互相抵消了 而在右边，15-15 也得到了0 所以结果就是0=0 这比上次的解是好了一点 上一回我们算出来的解是0=6 但是0=0这个解 没有告诉你任何关于变量的信息 这是个真命题 0=0绝对是没错的 但是它没有告诉你任何关于变量的信息 所以，小鸟就对着国王的耳朵说了几句悄悄话 接着国王说道： “鸟儿认为你应该用作图的方法” “来解这道题” 有过上次的经历，你已经知道 听这只鸟儿的话是没错的 于是你就试着通过作图来表达这两个约束 我们就用同样的方法来做 我们有b轴 这是我们的b轴 我们还有a轴 让我们在数轴上把这些点标出来：1，2，3，4，5 这里也是1，2，3，4，5 那么，这边第一个方程 如果我们在两边同时减去2a 我要用斜截式来给它作图 得到了b=-2a×5 我刚才只是把方程两边同时减去2a 如果我们要把它作成图 截距就是当a=0时，b=5 就在这个位置 斜率是-2 也就是说a的值每增加1，比方说a从0变成1 b的值就要减少2 所以这里是减少了2 所以第一个白色的方程式 用作图方式求解就是这个样子 这是所有符合约束条件的 香蕉和苹果的单价的解 现在我们来作第二个方程的图 如果我们把方程两边同时减去6a 就得到了3b=-6a+15 现在我们可以两边同时除以3 每一项都要除以3 最后得到的是b=-2a+5 这就有意思了 这个看着很眼熟，其实跟刚才那个就是完全一样的 它在b轴上的截距是5，斜率是-2a 所以用这两个方程式作出来的其实是同一条直线 因此这两个是完全相同的约束 于是你就糊涂了 你说：“嗯，我明白为什么会得到0=0这个解了” “这个方程组实际上有无穷多解” “在这条线上取任意x的值和相应的y值” “都是原方程组的解” “因此，这个方程组有无穷多解” 但你也很好奇，为什么会出现这种情况呢？ 于是，鸟儿又在国王耳边悄声说了几句 国王就说：“鸟儿告诉我” “这是因为前后两次去菜市场” “买的苹果和香蕉的比率是一样的” 和用白色字表示的这次购买相比，绿色的这一次里 你买的苹果和香蕉的量 都是上次的3倍，总价也是上次的3倍 所以，无论苹果和香蕉的单价是什么 你第二次买苹果和香蕉的数量 都是上一次的3倍 花的钱也是上次的3倍 因此，两种水果的单价可以是任意值 这其实是有解的 我们不能说阿贝格拉大人骗了我们 但是他没有给我们任何有用的信息 我们说，这个方程组是有解的 这里的信息是一致的 让我们把这个写下来 这是有解的 这个解就是0=0 这没什么值得怀疑的 但是这些信息是不够的 这个方程组是相关的 它有无穷多组解 这条直线上的任意一点都代表了一组解 因此，你就可以告诉阿贝格拉大人： “如果你真想让我们解开这道题” “你就得给我们更多信息” “最好是买不同倍率关系的苹果和香蕉”