If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容
当前时间:0:00总时长:7:25

例:分段线性函数的域和范围

视频字幕

这是一个分段线性函数, x 分别属于不同的区间。 g(x) 定义为一条线, 或者说是在不同的 x 的取值范围 是不同的线。 我们先考虑它的定义域,然后再考虑值域。 所以它的定义域,正好复习一下, 定义域是使这个函数有定义的 所有的自变量取值,组成的集合。 自变量是 x,那么就是 能让函数有定义的所有 x 组成的集合。 我们看,任何小于等于 -6 的数, 函数都没有定义。 如果 x 小于或等于 -6, 它就不在这三个区间里。 所以没有定义。 这里没有规定 x 等于其他值该怎么办, 它只是说,如果 x 满足这些, 就对应等于那些。 而如果 x 这三种情况都不满足, 函数 g 就没有定义。 如果要满足三者中的一个, 至少 x 要大于 -6。 所以这个部分, 我们定义域的左端,就定义在这里。 所以我们说, -6 小于 x,我这样写—— 它属于实数—— 我重新写, 我用数学的语言来写, x 属于实数, 并且满足 -6 小于 x, -6 小于 x, 然后我们还要考虑上限, x 应该—— 我要确认区间内没有空档, 在 x 大于 -6 且小于等于 6 这个区间。 我们看,x 一直增大到等于 -3, 是在这个区间内, 然后经过了 -3, 增大到 4,是在这个区间内, 而我们一到 4,就进入了这个区间, 然后一直到 6。 所以 x 的右端是小于等于 6, 小于等于 6。 如果换一种说法, 不用这么多数学符号的话, x 能取任何实数, 任何实数,只要满足 -6 小于 x 小于等于 6。 这两种表述是等价的。 现在我们来考虑函数的值域。 我们来看值域, 值域是所有自变量的集合, 不对,抱歉,应该是所有函数值的集合, 包含所有能得出的函数值。 我们来考虑当 x 变化时, x 可以在区间内取任何值。 那么 g(x) 可以取到哪些不同的值? 我们来考虑,g(x) 应该在什么和什么之间? g(x) 应该在什么与什么之间? 这里也是,g(x) 应该在什么与什么之间? 而且,这里有可能是等号,我等下再考虑这个。 什么时候,这个函数能取到最小值? 它能取到最小值,只有当 x 尽可能的小。 当 x 接近 -6,它才能尽可能的小。 如果 x 等于 -6——当然它不能等于 -6—— 但是假设 x 等于 -6,那么这里就等于 -6 加 7, 也就是 1。 所以若 x 大于 -6,g(x) 大于 1, 或者换个说法,如果 -6 小于 x, 那么 1 小于 g(x)。 这就是因为如果我把 -6 代入, -6 加 7 等于 1。 当 x 尽可能大的话,函数值就能达到最大值。 这个区间内最大的 x, 就是 x 等于 -3。 所以当 x 等于 -3,-3 加 7 等于 4。 这个值是能达到的,因为这是小于等于, 所以我们可以直接令 x 等于 -3, 此时 g(x) 等于 4。 我们在剩下的两段也这么做, 这里是 1 减 x,因此 x 尽可能大的时候, 函数值才能达到最小值。 x 尽可能大,就是趋近与 4 的时候, ——不能等于 4,但能趋近于 4。 所以我们说,如果假设 x 等于 4, 尽管不在这个区间内, 1 减 x,1 减 4 等于 -3。 所以只要 x 小于 4, 那么有 -3 小于 g(x)。 我希望我能解释的清楚一些, 因为确实有点乱, 函数值取到最小值的时候, 就是 x 趋近于 函数值趋近于最小值的时候, 就是 x 趋近于它最大值的时候, 因为这里是减 x。 如果取上限, 就算实际上无法取到 4, 但当我们趋近于 4, 我们可以说, 1 减 4 是 -3, 所以 g(x) 始终是大于 -3 的, 这是个小于号。 那么当 x 取值趋近于 -3 时呢? 这时,1 减 -3 等于 4, 所以这里就是 4。 这两个都是小于号,不是小于等于, 因为这里都是小于号。 我们现在来考虑最后一段。 要 2x 减 11 取到最大值, 那么 x 就要尽可能大。 所以当 x 等于 6 时函数值最大, 2 乘以 6 等于 12, 减 11,等于 1。 所以它最大值为 1,这是能达到的, 因为 x 能取到 6。 它的最小值就是 x 等于 4 时, x 也确实能取到 4。 所以这里是小于等于号。 2 乘以 4 是 8,减 11 等于 -3。 所以 g(x) 在这一段最小能到 -3, 这是当 x 等于 4 时。 所以现在我们看看所有的 g(x) 的取值, 我们可以说, 我们可以用很多方式来写, 可以写 g(x) 属于实数集, 且满足——我们看看, g(x) 能达到的最小值是多少? g(x) 最小可以到 -3, 可以等于 -3, 这里是大于 -3, 但这里就是大于等于 -3, 所以是 -3 小于等于 g(x), 那最大能达到哪里呢? 我们看看,一直可以大到 1,然后—— 我不应该说最大到 1, 它是能到 1, 但是还能超过 1, 可以一直达到 4,在这里。 所以函数值可以一直到 4, 并且能达到 4。 因此 g(x) 属于实数,并且满足 -3 小于等于 g(x) 小于等于 4。 所以 g(x) 所有可能值的集合, 是从 -3 到 4 的区间,并包含两端。