例题：代数函数的域

我们来做几道寻找函数定义域的练习题 比如我们有这么一个函数g(x). 它是怎么表达的呢 如果输入值x，那么g(x)就等于1 除以6减去 我来写整洁一点 6减去x的绝对值 再开根 我们还是像以前，先暂停视频，看看您自己 可不可以先找出这个函数的定义域 函数g(x)的定义域是什么 这个函数可以被定义的所有x的集是什么 好，要是能让这个函数被定义 我们来看什么让这个函数不被定义或许 要简单一些。也就是当除数为0 这个函数就没有定义。或者在根号里出现负数 那么如果您这么想的话---如果根号里为负数或者0 如果是0或者负数 如果是0，那么0的开根还是0 那么除数为0，函数无定义 或者说另一个根式里面出现负数，负数 是不能出现在平方根里面。至少传统意义上负数 开平方根是没法定义的。所以如果6减去x的绝对值是0或者负数 这个就不能被定义。或者另一个方法去想 可以被定义的话--g函数 可以被定义-- g可以被定义，就要 6减去，我写成当且仅当 有时人们将当且仅当写成2个f：iff g能够被定义的话，当且仅当-- 这是数学里面的说法，当且仅当--6减去x的绝对值 大于0 必须为正数。如果是0 0的开根数仍然是0，除数为0没法定义 而如果小于0，您要试图去解一个负数的主根 那也是无法定义的 所以，g可以被定义当且仅当这是对的 我们在2边加上x的绝对值 在不等式2边同时加上 x的绝对值，那么得到 6大于x的绝对值或者x的绝对值 小于6.或者我们可以说 您知道的，让我这么来写。x的绝对值小于6 另一种说法就是 x大于负6小于6 或者说x在负6和6之间。这2件事情 是一样的。如果x的绝对值小于6 那么x就大于负6并且小于6 所以如果我们想把定义域写成标准的集合形式 我们就可以写成 g的x取值，都是这个集合里面的 任意实数，但是要大于负6 并且小于6 我们做好了。再来做另一个 这个可能要更难一点，我们来做 这个函数为 h(x)函数 它等于---这是一个组合函数 分子为x+10 除以 分母为（x+10)(x-9) 再乘以(x-5) 但是这里有一个例外条件 这里面x不等于5 而当x等于5的时候 函数等于π 如果x等于5.再一次暂停视频 想一想h函数的定义域 或者另一个想法就是哪些值让这个函数无定义 那么怎么使这个函数无定义呢 所以，当x不等于5的时候，我们走上面这个表达式，而等于5，就走下面 那么上面这个怎么才能没有定义呢 最明显的就是除数是0 那么怎么才会除数为0呢 那么如果--如果x等于 我写在这里--如果我们除以0 除以0 那么x就等于9 或者x等于负10 我们这里要特别小心 当x等于5的时候是不是也可以呢 但是要记住，当x等于负5的时候我们不看上面的式子 我们只看下面的这个。当然从上面看当x等于5 那么除数就出现0，但是当x等于5，您是不会去看上面的 只看这个。当x为5 您只能用下面的这个表达式 所以除数为0的情况 就是上面的式子 函数的上面部分的表达式 部分表达式 当x等于9，当x等于负10 因为当x等于5上面式子不适用 如果没有下面这个式子，上面这个式子您可以把x等于5写下 我们要做完了。但是您可能要说，等等 我这里为什么不能简化呢？分子分母都有x+10 2个抵消不就没有这个项了吗 但是您要知道，如果您这么做 您就创建了一个不同的函数。因为如果您仅仅想简化的话 您仅仅说1除以(x-9)--1除以（x-9)(x-5),这是不同函数 这个函数在x等于负10的时候是有定义的。但是我们之前 的那个在x等于负10没有定义。因为它让分母有0. 您就得到了 一个不确定的形式。所以这个函数，只能以这个形式写 当x等于9或者x等于负10 是不能被定义的。您可以又用 集合的符号来表达定义域 那么x就是所有的实数集 里面的一个数 但是x不能等于9，并且也不能等于负10 而其他所有的实数 包括x等于5都可行 因为当x等于5，h(5)就等于π 因为您会用下面这个取代上面的式子，h(5)是可行的 当x等于5，我们用下面的式子。但是如果您给出x等于9 您就要除以0.如果您给出x等于负10 您也要除以0.但是其他任何x的值都是可以的 所以这个就是函数的定义域