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什么是函数的定义域?

视频字幕

我们来回顾一下我们之前所学到的有关函数 的知识,再来了解 一个函数的定义域意味着什么 我在这个框里放一个函数 函数可以取不同的输入值,对于每一个输入值 函数有其对应的输出值,我们称f(x)。比如我们有一个函数-- 我们有函数f(x) 等于2除以 x。在这个例子里,这就是 我定义的函数f。所以如果我的 输入值为3,那么f(3) 就是我的输出值--我们知道怎么来算这个输出值 我们函数的定义就在这里。那么输出值就等于 2/3。输出值就等于2 除以3,所以我们可以用这个输入值来找到输出值 如果我们的输入值为pi 那么我们把pi代入我们的函数里就得到f(pi) 当x等于pi, 我们的输出值f(pi) 就等于2除以pi。所以我们就可以写成 2/pi。我们就可以很简单的找到输出值。但是我想 来做一些更有趣的。我们来试试把0 作为输入值放进函数里。如果是0的话 那么函数的输出值是什么。这个定义的函数是否可以得到输出值呢 如果假设x等于0,那么这个函数 f(0)就是2除以0,但是2除以0是无法求解的 这里来重写--2除以0。这是无法定义的。这个函数 在x等于0的时候是无法定义的。当x等于0的时候这个函数无法定义 所以这个函数不能定义。我们做一个问号 通过这个我们了解到什么是函数的定义域 函数的定义域就是在函数可以做定义下所有输入值的集合 所以这个函数的定义域就是x可以是所有的实数 但是不能为0 我们把它们写在这里 这是是定义域--函数的定义域-- 我来写在这里。函数的定义域 一个函数的定义域 就是一个集 它包括所有的输入值--- 这些输入值都可以使这个函数有定义-- 或者说使这个函数有可以定义的输出值 也就是函数有明确的输出值 那么特别对于这个函数而言 如果我说 这个函数的定义域,我可以用这个曲线括弧来表示 这是数学里表示定义域的特定符号 就是用这个曲线括弧来表示域的集。x就可以 这个小的符号就表示任何一个实数 但是x不能是任何实数。它可以 是大多数实数除了不能是0 因为当x等于0的时候这个函数不能定义 所以x是实数里面的一个数 我们用这样的特殊符号表示,这个就表示所有实数的集 但是我们要有一个除外,那就是0 x等于0的时候就不在这个定义域里 x不能等于0 我们再做一些练习来巩固一下这个概念 再来做一个练习 可以让这个概念更加清晰。我们有另一个函数 这里说明一下,我们不必总是用f(x) 来表示函数。我们可以用 g(y)来表示函数,g(y)等于y 减去6然后开平方根 这个函数的定义域是什么 可以使这个g函数被定义 这里的输入值为y,函数的输出值为 g(y) 如果这个函数可以被定义的话 那么平方根符号里面的数不能为负数 如果里面的数是负数,那么我们传统意义 上的开平方根 就不能被定义,我们需要的数是--如果这是一个负数 您怎么拿一个负数来作为被开方数呢 我们就把它想成是一个正常的开平方根的运算 所以y减去6,就要 大于等于0,这样函数g才能被定义 或者您可以在2边同时加6,y就要大于或者等于6 或者您可以说只要y大于等于6,函数g(y)就可以被定义 那么我们这个函数的定义域 就是一个集,其中的y可以是全部的实数 只要y 大于 或者等于6。希望这个例子开始给您 有所启发。您就会熟悉对函数的定义的理解 您可以看到更加 神奇的函数定义。您看到一个函数--h(x) h(x)可以被定义为--h(x)等于1 当x等于pi 并且h(x)等于0,如果 x等于3。那么这个函数的定义域是什么?我建议您暂停视频 自己想一下 好了,这个函数实际上只定义了2个输入值 我们知道h(pi) 的输出值为1,我们也知道当输入值为3 h(3)的值等于什么 我们把冒号放在这里,h(3)等于0.但是当你输入其他任何数 比如h(4)等于多少 这个却没有定义。那么h(-1)又是多少 这个也没有定义。所以这个函数的定义域 h函数的定义域 实际上就只有2个有效输入值 x只能为 3和pi 这2个是仅有的有效的输入值 只有这2个数才使这个函数有定义。希望这个例子开始 让您明白了为什么我们这么重视域值定义域。不是所有的函数都 定义在所有的实数基础上。一些函数就只定义在很小的实数 集上,或者定义在其他一些集,或许为整数集 或者自然数集,或者正数集,负数集。所以这些集都有例外 我们可以通过做更多的练习来认识这个定义域