区间和区间表达式

在这个视频里，我希望 让大家熟悉区间的表达。 讨论我们表示区间的一些方法。 或者说区间的表示法。 这里，我们有一个数轴。 我要来讲讲这个 数轴上从 -3 到 2 的区间 我关心--让我用不同的颜色。 我关心的区间就在这里。 我关心从 -3 到 2 的所有的数。 要表达得更精确，我必须讲明白， 我是要包括 -3 和 2 还是不包括 -3 和 2。 或者，是不是只包括它们中的一个。 如果我要包括 -3 和 2， 我就要把它填满， 就在这里，我要把-3 和 2 填满。 意思是 -3 和 2 是这个区间的一部分。 如果包含端点， 我们叫它闭区间。 闭区间。 我刚才已经演示过， 我怎样通过在一个数轴上填充端点来表示它。 有许多种方法 对区间进行数学表达。 我要说， 这个数轴， 表示 x 的不同的值。 这些是所有的 介于 -3 和 2 之间的 x 。 注意，这里 -3 小于等于 x , 这告诉我们 x 可以等于， x 可以等于 -3。 然后，x 小于等于 +2， 意思是 x 可以等于+2。 所以，这是个闭区间。 还有另一种表示闭区间的方法， 我们讨论区间时， 我们可以用方括号， 因为它是个闭区间， -3 和 2，再说一次， 这里我用方括号，这些方括号告诉我们 区间包括，这个左边的方括号表示 我们的区间包括 -3，而右边的方括号 表示我们的区间包括 2。 有时，你还会看到一些表达方式 更加富有数学意味。 你可能会看到， x 是这样的一些实数中的一个数， 我可以在这里加上大括号。 这些大括号表示， 我们是在讨论数值的组合， 我们说所有 x 的集合， 而 x 是实数里面的一个数。 这只是一种高深的数学表达。 它是实数中的一个数， 这里我用了希腊字母 ϵ 。 它是 这样的实数里的一个数， 这个竖线意思是“这样的”， -3 小于 ， -3 小于等于 x x 小于等于 2。 我也可以把它写成这种形式。 x 是这样的实数中的一个数， x 是这个闭式组合中的一个数 我把端点包括在内。 以上就是各种 表示同一区间的不同方式。 让我们举更多的实例。 我再画一个数轴， 一个数轴。 这回，我们做一个开区间。 一个开区间，我们 可以清楚地看到它们的不同。 我们来讨论 在 -1 和 4 之间的数。 让我用不同的颜色。 在 -1 和 4 之间的数值， 但是我不想包括 -1 和 4. 这将是一个开区间。 我不想包括 4， 也不想包括 -1。 注意，我在这里画一个空心圆。 这里是一个实心圆，实心圆告诉我们 我把 -3 和 2 包括在内。 现在，这里是空心圆，意思是， 在 -1 和 4 之间的所有的数值。 包括 -0.999999 但不包括 -1。 包括 3.9999999， 但不包括 4。 那么，我们怎么-- 我们怎样表示呢？ 我们可以说，x 是这样的一些实数中的一个数， 这些实数， -1 -- 我不能说小于等于， 因为 x 不能等于 -1。 -1 要严格地小于 x 。 x 要严格地小于 4。 注意，不是小于等于， 因为它不能等于 4，4不能被包括在内。 这是一种表达方式。 另一种方式，我写在这里。 x 是这样一些实数中的一个， x 是一个-- 现在区间是 -1 到 4。 但是我不应该用方括号。 方括号的意思是，嗨，让我把端点包括在内。 但是我不想包括它们。 所以我要在这里使用圆括号。 圆括号。 它的意思是，我们正在与开区间打交道。 就是这里，让我来把它写清楚。 这是一个开区间。 现在，你或许会想到，这个区间， 两个端点都包括在内，是个闭区间。 而这个区间，两个端点都不包括在内， 它是个开区间。 可不可以有这样的区间，一个端点包括在内， 而另一个端点不包括在内呢？答案是一定可以。 让我们看一个这样的例子。 这里，再做一个数轴。 另一个数轴。 我们要-- 让我用另一种方法。 我先写出它的数学表达，然后再作图。 我们在考虑所有的 x , 它是一些实数中的一个数， -4 不包括在内，-4 小于 x, x 小于等于 -1。 现在，-1 被包括在内。 我们不想包括 -4， -4 严格地小于， 而不是小于等于 x , x 不能等于-4 ，这里是空心圆。 但是 x 可以等于 -1。 它要小于等于 -1 。 它可以等于 -1。 所以这里我要把它填满。 这些实数就在这两者之间的每一个数。 如果我想用这种方法表示，我可以这样写， x 是这样的一些实数中的一个数， x 是这个区间中的一个数， 它在 -4 和 -1 之间 但是我们不包括 -4， 这里我们用空心圆， 这里我们用圆括号。 但是我们要包括 -1 ， 我们要包括 -1 。 所以，这里我们用方括号。 这就是它的表达式。 现在，你还可以有其他 的区间表达方式。 你可以说，嗨，我要不包括某些数的其他所有的数。 我们举另一个例子。 这里是另一个例子。 我们要考虑除了 1 以外的 所有实数。 我们要包括所有的实数， 所有的实数，但是 1 除外。 1 除外， 这里，这个 1 不能包括在内。 空心圆，但是可以是其他任意一个数。 那么，我们怎样来表示呢？ 我们可以这样写，x 是这样的一些实数中的一个数， 这些实数不等于 1。 我在说，x 是这样的一些实数中的一个数， 但是 x 不能等于 1 。 它可以是不等于 1 的任何其他的数。 还有其他的表达方式来表示同样的区间。 你可以说，x 是这样的一些实数中的一个数， 这些实数小于 1， 或者大于 1。 你可以这样写。 你还可以做更有意思的事情。 这是我喜欢用的方式，这是最简短的一种方式。 而且表达得非常清楚。 你可以说，嗨，除了 1 之外的所有数。 但你也可以做更花哨的事情，比方说 x 是这样的一些实数中的一个数， x 是一个从负无穷到 1 的集合中的一个数， 但不包括 1， 或者 x 是一个集合 或者区间中的一个数，这个区间从 1， 但是不包括 1，一直到， 一直到正无穷。 当我们说到负无穷 或正无穷，你总是要用圆括号。 这是因为你永远不可能包含 到无穷的所有的数。 需要至少在那个端点是开放的。 因为无穷就是一直继续下去。 所以，对于无穷或者负无穷， 你一定要用圆括号。 实际上，这不是个端点。 它永远继续延申下去。 你要用开区间的表达方式。 至少在那一端，要用开区间的方式。注意，我们不包括 我们也不包括 1，所以 x 是 这个区间，或者那个区间中的一个数。 实质上就是，x 可以是除了 1 之外的任何数。 这是最简洁的 表达方式。