什么是函数的值域

我们稍微复习一下前面的知识 如果我们有一个函数，称之为"f" 我们不必一定用"f"，但是"f"这个字母 通常都用来表示函数 如果我给这个函数一个有效的输入值 然后我用一个变量"x" 来表示这个有效的输入值，然后我们就可以得到相应的输出值 我们可以得到输出值 对于给定的x, 那么这个输出值 我们称之为“f(x)" 之前我们已经讨论过一点 关于定义域的符号 函数的定义域就是所有可以让这个 函数被定义的输入值的集合 所以如果这是一个函数 然后我取一个值，来替代x 然后函数的输出值为f(x) 如果我取一个不在定义域里的数 我用不同颜色来做 如果这个数不在定义域 然后用其作为输入值代入函数 这个函数将会说，"等等，" "这个数不能来定义我“ “它是定义域以外的数” 另一个有趣的想法是 也就是我们这个视频要重点介绍的 既然我们已经知道所有有效的输入值 称之为定义域，那么所有的输出值 所有输入值对应的 输出值 我们也应该对其取个名字 这就称之为函数的值域 值域 最典型的称呼为值域 也有其他2种不同的称呼 但是最典型的值域的定义 就是函数所有可能的输出值的集合 所以您在定义域里面取出一个数 然后就会通过函数的定义有对应的输出 因为我们通过函数进行了输出 这个输出值就在值域里面 如果我们把所有可能的输出值放在一起 通过这个函数产生的输出 那就是值域 这里就是所有可能的 输出值 全部输出值 我们来巩固一下 再来看一个例子 我有一个函数f)(x) 定义为，我有输入值x 然后通过函数f，我得到输出值f(x) 来看这个定义 函数的定义为，就是这样理解 “给出一个x,那么f(x)等于什么“ 这个定义就说，“f(x)就等于 我的输入值的平方“ 我们再来复习一下 我们知道这里的定义域将是什么 定义域就是全部有效的输入值 那么是什么呢 我可以取任何一个实数 代入函数里 将其平方，这都是可行的 所以定义域就是全部实数 全部实数为其定义域 那么值域呢 我来用不同颜色来做 来强调一下 我们的值域 我们所有可能的值域将是什么 您好好思考一下 为了帮助我们思考，我来画图 看看这个图形 看起来像什么 这个图形就是f(x)等于x的平方的图形 就应该看起来这样 就应该看起来这样 我用手画的，所以图形不是很完美 将会是一条抛物线 原点为其顶点的向上开口抛物线 这就是这条线的图形 y等于f(x)的图形，当然这里是x轴 这里是y轴 我们来想一下 所有可能的输出值的集合会是怎么样的 在这个例子里，所有可能的输出值 就是全部可能的y值 我们可以看到，y可以取任何非负数的值 y可以是0，可以是1，可以是pi,可以是e 但是y不可能为负数 所以这个函数的值域 我们可以用2种不同的方法来说 我可以说，"f(x)"我先用这个方法来写 f(x)是在实数范围里 并且f(x)大于 或者等于0 我们可以这么写，如果我们 用另一种少用数学符号来表示 我们可以说"f(x)将会 大于等于0“ f(x)不会是负数 所以任何非负数 就是这个函数的值域 再来做一个例子 让我们 更加熟悉一下这个概念 我有一个函数g(x) 我用白色来写这个函数g(x) 这个函数等于x的平方除以x 我们可以来简化一下这个函数g(x) 我们可以说，我有x的平方 然后再除以x，那么就是同样的可以表示为 g(x)等于x x的平方除以x等于x,但是我们要非常小心 因为这里，我们的定义域 x不能等于0 如果x等于0,函数为0除以0 这是一个不能定义的式子 为了使这个函数完全能表达正确 我们就必须要说 从这个函数的定义，我们不得不说 x不可能等于0 所以g(x)等于x的前提 是x可以是任何数，但是不能为0 只要x不为0，这2个函数就是相等的 我们可以画图 我们可以画出来 我来快速简单的做出来这个图形 应该看起来像这样 就是一条斜线 但是在0点的地方是个空心 因为x不能等于0 就应该看起来这样 所以定义域为 “x是一个实数， 但是x不等于0“ 函数的值域就是完全一样的 值域就将是 我们可以说“f(x)就是一个实数， 但是f(x)不等于0“ “f(x)不会等于0“ 所以定义域是除开0之外的所有实数 除开0之外的所有实数 所以最大的收获是，我们知道值域 就是函数的全部可能的输出值的集合 而定义域就是所有可能 的函数的输入值的集合