例题：方程式中的平均变化率

y等于1/8x的3次方减去x平方 在哪个区间，y(x)的平均变化率 等于1/2？ 让我们一个区间一个区间计算 求取平均变化率 第一个，这里的这个区间 x在-2和2之间 也就是x大于-2小于2 我们考虑一下，当x等于-2时 函数的值是多少？ y(-2)等于1/8乘以 -2的3次方减去-2的平方 等于是，我们算一下 -2的3次方是-8 -8除以8是-1 -2的平方是正4 但是我们是要减去它，所以是-4 所以等于-5 y(2)等于1/8乘以 2的三次方减去2的平方 等于1/8乘以8，就是1，然后减去4 得到-3 如果要计算平均变化率 需要计算函数值的变化， 然后除以x值的变化量 我们可以做一个表格在这里 x,y 当x是-2时，y等于-5 x等于+2时，y等于3 y的变化量是多少？ y增加了2，x增加了4 所以，你可以得到这些数字 你可以视为，y从这个点变动到这个点 x从这个点变动到这个点 或者你可以说，-3减去-5得到正2 这个是-3和-5之间的差值 如果你用2减去-4， 得到，再次的，距离，也就是差值 得到正4 但是如果你看这里，它很清楚 当y增加了2--或者我们可以 说当x增加了4，y增加了2 所以在这个区间，平均变化率 是y的变化值相对于x的变化值的平均比率 也就是等于 x变化了4，正4，y变化率正2 所以等于1/2 所以，这个区间的函数的平均变化率 等于是1/2 所以，我们很幸运 第一个选项， 题目是有多个选项的，但是不是多选题 第一个选项符合条件 它就是答案 但是让我们多做一个其它选项 以演示为什么它不是正确答案 让我们计算 这个点和这个点之间的平均变化率 我们再算一个--我换个颜色 我们用紫色 这个是x大于0，小于4 我用这里的表格来做 x和y 当x等于0，y是多少？ y是1/8乘以0减去0 y就是0 当x等于4，y是多少？ y等于是--我看下 等于是1/8--我尽量心算一下 1/8乘以4的三次方， 4的三次方等于64 1/8乘以64是8 它等于8减去4的平方，也就是16 8减去16等于-8 所以，在这个区间，x增加了4 x增加了4，y增加了多少？ y减少了8 所以，这里，y相对于x的平均变化率 是，y变化了，--y的变化-- 这个希腊字母delta，是 表示变化的缩写 y的变化是-8，而x的变化是4 所以，平均变化率是-2 它是负的，因为x每增加1， y减少了2 这就是-2的得来 所以，很清楚地，平均变化率不是1/2 所以它不是答案 我们知道另外两项， 我鼓励你自己试下 它们的平均变化率 也不会是正的1/2