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主要内容
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平均变化率导论

视频字幕

有2个不同的函数形式 分别是左边和右边的函数d(t) 其中d表示距离而t表示时间 所以这里给出的是时间和距离关系函数 左边的函数是3t+1 您可以从图上看到距离是怎么变化的 根据时间的变化是一条直线 我们从代数的角度来复习一下 一条直线的变化率 就是这条直线的斜率,我们可以算出 可以算出的是,在任何时间的变化下 我们的距离变化了多少 在这种情况下 如果我们从时间1秒变到2秒 我们用三角形t来表示时间的变化,其变化量为1 那我们距离的变化量是多少呢 我们距离的初始值为4米 这个时候是时间1秒的时候 时间为2秒的时候距离是7米 所以我们距离的变化量为3 如果我们要加上单位的话 那就是每秒距离变化为3米 所以我们的斜率就是在垂直轴上的变化 除以在水平轴上的变化 也就是距离的变化除以时间的变化 就等于3除以1 或者我们就写成每秒3米的变化率 您可能将这个看作是一个变化率 如果您考虑距离上的变化 除以时间上的变化,这里的变化率 就将是您的速度 这就复习了您之前所学过的知识 了解到直线的有趣的性质 或者如果我们来讨论线性函数 这条直线上的任何一点的速度是不会改变的 这条直线上任何2点之间的斜率 总是等于3 但是有趣的是,右边这个函数 就不同了 我们的变化率无时无刻不在改变 我们将在今后的学习中更加深入的去学 当我们学到微积分的时候再学 这个视频实际上就是 为将来的微积分学习做一个基本的铺垫 让我们知道什么是微积分 这里值得注意的是 去考虑瞬间的一个变化率 就比如在这里 如果您去想这条线的斜率 就是几乎与这个图型相切的这条线 它可能看起来像这样的 这条切线的斜率 就在这里 它看起来有点陡 然后再来看这里,这条线好像更加陡一点 所以看起来这条线的变化率 随着时间的增长而一直在增加 就像我说过的,我们会建立一些工具 来考虑瞬时的变化率 但是我们现在可以去思考 变化率的平均值 平均的 变化率 我们考虑平均变化率的方法 我们要用相同的工具,在代数里学到的 我们来考虑割线的斜率 什么是割线呢 我们在几何里提过 割线就是任意与曲线 相交的2个点之间的连线 这里的2点分别为时间等于0秒和等于1秒 我们来画出这条线,我用橘色来画 所以这就是一条割线 您可以算出这条割线的斜率 来作为平均变化率 从时间0秒到时间1秒的平均变化率 那么这个平均变化率等于多少呢 这条割线的斜率将会是 距离的变化量除以时间的变化量 那么将会等于 时间的变化量是1秒 我把单位写在这里,一秒 那么我们的距离变化了多少 当时间等于0秒或者d(0)是1 d(1)是2 所以我们距离的变化量为1米 所以在一秒的时间里我们走了1米 或者我们可以说,我们的平均变化率 就是从时间变量t等于0秒 到t等于1秒的平均变化率为每秒1米 但是我们来想想这个 如果我们从时间2秒 到时间3秒 我们可以再次来看其割线 然后算出它的斜率 那么斜率就是,您可以用 平均变化率来表示 从时间t等于2到t等于3 我已经说过了 这个变化率好像持续变化 但是我们可以来想平均变化率 那就是我们在距离上的变化 除以我们在时间上的变化 那就等于当时间等于2 我们的距离是5 那么1,2,3,4,5 5在这里 当时间t等于3,我们的距离为10 6,7,8,9,10,10在这里 这里时间的变化很明显 我们就走了1秒 我们距离的变化在这里 我们从5米走到了10米,那就走了5米 所以就等于每秒5米 所以这样就很明显的看出 我们的平均变化率改变了 从时间0秒到1秒 再到时间2秒到时间3秒 我们的平均变化率变高了 第二个间隔的变化高于第一个间隔的变化 您可以想象 这是一个非常有趣的事情去考虑 如果您取割线的2点 它们越来越靠近呢 您就会离 那条切线的斜率越来越近 这个实际上就是我们到了微积分要学的东西