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主要内容

工程例子:绝对和相对极值

极值是最大和最小点名称。这个视频将演示如何识别函数图中的相对和绝对极值。

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    一段曲线或者函数图像的端点算是局部最大/最小值么?相对极值和绝对极值是可以重合的么。
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视频字幕

我们需要在这个图中 标出极值点。 你可以在这里暂停视频自己试一下, 看看能否直接从屏幕上的图中 看出极值点在哪里。 现在让我们来一起解这道题。 一共存在两种局部极值。 局部极大值和 局部极小值。 最大和最小局部极值 都很容易就可以从图中找到。 一个开口向下的抛物线的最高点 就是局部极大值, 这个抛物线甚至都不用是 图中最高的抛物线。 意思是说,曲线可以在 x等于其他值的时候 有甚至更高的y值。 它也可以看上去在峰值的顶点, 不过像之前说的,因为我们看的是 局部极大值, 这个峰不必是 图中的最高峰。 图中可以有其他更高的峰, 而且这些每一个峰, 每一个峰的顶点都是局部最大值。 局部极小值则相反。 他们就是图中的谷底。 比如这就是一个局部极小值。 这里的确是一个局部极小值, 尽管函数的其他部分 可以有更小的y值。 对于局部极大最大和极小值 我们还有两种边缘情况, 就是当图是一条平行线的情况。 当函数中有一部分是 常数函数的时候,那部分中所有的点 都同时是局部极大和极小值。 举个例子,我们这里的 横坐标, 如果这个是我们的横坐标, 这是我们的纵坐标, 然后这里是x = c, 如果在c左右取一个开区间, 你会发现函数在x = c时的值, f(c),绝对不小于 c周围的函数值。 同时,它也绝不大于 它周围的函数值, 因此这个点同时也是个 局部极小值。 不过这是一个比较少见的边缘情况。 现在我们讨论过了边缘情况, 让我们来看看(非边缘情况下的)局部极值。 首先是局部极大值。 这里的峰顶就是一个局部极大值, 这边这个峰顶。 你可能会觉得这边和这边的点可能也会是局部极大值, 但注意,这边这个点, 如果继续向右延伸, 会得到比此处更高的纵坐标值。 所以这个其实并不是个峰值。 这边这个点呢,如果你向左延伸, 你也会得到更高的函数值, 所以这也不是一个峰顶。 那么局部极小值是什么样呢? 这边这个坐标就是个局部极小值。 这里这个点,也是个局部极小值。 还有这个点, 也是局部极小值。 现在让我们来看看绝对最值。 这边我们需要在图中标出 绝对最大值和 绝对最小值。 所以和之前一样, 你可以试试暂停视频看看能否自己做一做。 如果我们有一个绝对最大值, 它的x坐标等于c, 它当且仅当,让我写出来, 当且仅当 f(c)大于等于f(x),x是函数定义域中 任意值,的时候才会成立。 而如果我们有一个绝对最小值 的横坐标等于c, 那么它也是当且仅当 f(c)小于等于f(x),x是函数定义域中 任意值,的时候才会成立。 所以我们也可以说, 绝对最大值是图中的最高点。 所以这里这个就是个绝对最大值。 绝对最小值在这里则更有趣一些, 因为在这个图中, 绝对最小值其实是 我们定义域中的一个端点。 这里的是我们的绝对最大值, 而这里的是我们的绝对 绝对最小值。 像之前一样,这里也有个 不是很常见的边缘情况。 举个例子, 如果这个函数图像像这样, 向上升高, 然后保持不变, 那么这里的坐标就不是 绝对最大值了。 但这个平行线中的任意一点, 因为它们不小于整体图像中的 任意一点, 所以平行线上的任意一点都是绝对最大值。 不过在我们的例子中没有需要考虑的边缘情况, 同时你在别处也不会很经常看见。 所以在大部分的题目中, 可以很易就识别出绝对最值。 因为整个图中的最高点 一般就是绝对最大值, 而图中的最低点, 就是绝对最小值。