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主要内容

递增、递减、正或负区间

函数值可以为正值或负值,当输入值增加时,它们可以增加或减少。在这里我们介绍了这些函数的基本属性。

视频字幕

我在这节课里面要讨论的是 来看这个函数y=f(x) 在哪些区间 函数为正值,或者为负值 并来讨论这个函数图形 在哪些区间递增或者递减 首先我们来看这个函数 什么时候为正值 正值就是当函数值 大于0的时候 就是说函数 处于x轴的上方位置 在图上就是在x轴之上 就在这些位置 我把它用黄色标注出来 这些处于x轴上方的区间 如果我想将这些黄色区域 用数学表达式表示出来的话 我们来看这么做。比如说这个点 这个点x=a 这个点x=b 这个点x=c 那么可以看到当x在a,b区间内 函数的值为正值 当x=a或者x=b的时候函数值为0 但是当x在a和b之间的时候 函数值是正值 或者当x大于c的时候函数值也是正值 我们可以表示为,c小于x 也可以表示为x大于c 这些区间函数为正值 我把它表达为f(x)是正的 当x在这个区间 或者x在那个区间 那么什么时候函数为负值呢 我用别的颜色来标注 f(x)将为负值 当x小于a的时候f(x)为负值 所以当x小于a或者x在b和c之间 我们看到函数处于x轴的下方 所以说函数的值是负的 或者当x在b和c之间 我没有说当x小于等于 因为当x=b或者x=c的时候 f(c)=0,f(b)=0 这2个点就是与x轴相交的点 这个非常直观清楚 现在我们来问一个不同的问题 什么时候函数是递增或者说递减呢 什么时候f(x)递增呢 一种思考的方法是 就是当x递增的时候y也应该递增 或者说,对于x的变化 y的变化是正向变化的 我们可以来这么假设 如果在任何这些点上画出切线 那么这些切线 的斜率应该是正的 对于我来说,最简单的方法就是 当x增加的时候y也是增加的 那么函数在哪里处于递增呢 我们用蓝色来表示 函数在到这个点的时候 一直是递增的 然后到了这个点就开始递减 直到我们到了这个点 然后函数又开始递增 它又开始增加 我来做一些记号 比如说,这个当x等于d 的时候 我换成绿色来做 假设我们说这里是x等于d 现在这些点a,d,b都在图形里 这里是x等于 x等于e x=e 那么函数在哪些区间递增呢 当x小于d的时候 我并没有说小于等于 因为当x刚好等于d的时候 那个时候切线的斜率 看起来是一个常数 我们从递增变化到递减 所以刚好在这个位置d既没有增也没有减 但是函数是递增的 当x小于d或者x大于e 那么哪些区间是递减呢 我来用不同颜色表示 我用紫色来画,所以图上看到 函数在这个区间是递减的 就在区间d和e之间 在x=d和x=e之间 但是不包含这些点 因为在这2个点 函数既没有递增也没有递减 但是您可以看到当x增加时 当x在增加,y发生什么变化呢 当您从这个点开始x增加 y又有什么变化呢 y会递减 当x增加时,y递减了 当x增加时,y递减了 x增加,y递减一直下去 直到这个点为止 所以函数f(x)当x在d和e之间的时候呈递减 希望这个给到您一些启发 注意,这些区间是不同的 函数为正值的区间 或者负值的区间并不会刚好是 函数在递增或者递减的区间 所以一定要分开来思考不要混淆,这个非常重要 即便是听起来好像是一回事