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坐标系:入门

衔接代数和几何学。是什么使得线性方程如此线性。  Sal Khan 创建

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这里所展示的是一张勒奈·笛卡尔的肖像 他也是伟大的思想家之一 尤其在数学和哲学领域 我想也许你已经找到了一点规律 伟大的哲学家通常都是伟大的数学家 反之亦然 他差不多和伽利略是同时代的人 较之晚出生32年 却在伽利略死后不久也撒手人寰 笛卡尔去世较早 而伽利略活了70多年 笛卡尔仅活了54岁 笛卡尔在通俗文化中相当出名 因为他曾说过一句非常经典的哲学名言 我引用在了这里—— “我思故我在” 但我想人物介绍到这里为止就差不多了 毕竟这些和代数没有什么关系 但我还是再介绍一句非常优雅的名言 可能是他说过的话中最不出名的一句 就是右边下面的这一句 我之所以喜欢它仅仅是因为它很实用 并且它可以让你在今天的课程中理解到 这些在哲学界和数学界的伟人 最终 也只是凡人一介 他说“你只要继续努力” “你只要继续努力” “我犯了所有可能会犯的错误” “但我仍然坚持努力” 我认为这是对人生非常非常好的建议 而他能够有很多成就 在哲学和数学上 但我今天之所以会提到他的真正原因是 我们要讲的代数基础 他便是那个创造者 建立了强大的关联 在代数和几何之间 好了 到目前为止 因我们之前讲述的内容 你已经进入了代数的世界 你学会了处理符号的等式 这些符号非常重要 因为他们可以表达数值 于是你能够明白这些 例如 y = 2x - 1 这个等式告诉我们有关 x和y之间的关系 对任何x 和任何y 我们可以列表说明一下 随便选给x赋一个值 然后来看看y会是多少 我可以随机赋值给 x 然后就知道 y 是多少了 但这里我只是简单的选择一些相关值 以便这些数看来不会太复杂 比如说 如果x是-2 那么y将等于2 x -2 - 1 2 x -2 - 1 也就是-4-1 等于-5 如果x是-1 那么y就等于 2 x -1 - 1 也就等于 -2 -1 等于-3 如果x是0 那么y将等于2 x 0 - 1 2 x 0是0 再减去1则是-1 我会再多举几个例子 如果x是1 事实上我在这里可以选择任意值 然后来看看发生了什么 如果x是负的根号2结果会如何 或者会发生什么 当x等于-5又1/2 抑或x等于正的6/7 但我只是随便选几个数 当我想知道y是多少时 这种方法使计算简单多了 好了 回到x等于1 y就等于2 x (1) -1 2x1等于2 再减去1得到1 我再举一个例子 换一种我还没有用到的颜色 就用紫色吧 如果x等于2 那么y将等于 2 x 2-1, 由于x是2 所以是4 - 1等于3 到此为止 我只是为这个等式举几个例子 但我只想用此来描述一种通常的关系 在变量x和y之间的关系 然后我让它看起来更具体一点儿 那么好吧 如果x是这些变量的其中之一 那么对应每个x的值 变量y对应的值是多少? 这让笛卡尔意识到 你可以使这个式子可视化 你实际上可视化的是每个独立的点 但它们同样可以从总体上帮助你 使这种关系可视化 因此他在本质上做的是 他让这种抽象的符号代数世界和 几何学关联到了一起 几何研究的是 形状 大小 和角度 学到目前你已经拥有了几何的世界 很明显历史上人们 可能历史上的很多人都记不起 谁曾经涉猎于此 但在笛卡尔之前的通常看法是 几何学是指欧几里德几何学 并且那是几何学的本质 你在几何课学过 在八年级、九年级或者十年级的时候 在传统的高中课程中 几何学所研究的是 有关三角形和它们的角之间的关系 以及圆与圆之间的关系 你了解了半径,你还有三角形 嵌在圆内的情形等等 好了 我们将会深入了解 在几何学课上 笛卡尔说 我觉得可以将它图形化展示 和欧几里德研究这些三角和圆的方法一样 他说“为什么我不这么做呢?” 如果我们将这里看作一张纸 或者我们想象一个二维平面 你可以将一张纸看作 是二维平面的一部分 我们称之为 二维 因为这里有两个方向你可以进入 一个是上下的方向 这是一个方向 让我用蓝色画出来 因为我们设法将事物可视化 所以我用几何的颜色来表示它们 现在你有了上下两个方向 你还有左右两个方向 这就是它叫做二维平面的原因 如果我们处理三维问题 你还会有里向外两个方向 在屏幕上表示出二维是很简单的 因为屏幕本身就是二维的 笛卡尔还说过“好了 你现在知道” “两个变量和它们之间的关系” “那么为什么我不将每一变量” “和这其中的某一维度对应联系起来呢?” 按照惯例 我们让变量y y是因变量 我们用的这种方法 它的值由x的值决定 让我们把这些在直角坐标系中画出来 我们首先来画自变量 就是我随机赋值的那些 然后来看看y会等于多少 让我在水平线上表示出来 事实上是笛卡尔 首先提出用x和y表达的传统 之后我们将在代数中看到z变量 将被大量使用 作为未知变量和你能够操控的变量一起 但正如他所说“如果我们用这种方法考虑问题“ ”如果我们用这些维度来表示数字” 让我们先来看看x轴 让我们假设在这里是-3 这里是-2 这里是-1 这里是0 我正在标示x轴 接着在左边的区域 这里是+1 这里是+2 这里是+3 我们现在要用同样的方法对y轴进行标示 那么这里将变成 -5, -4 , -3 让我用更简洁一点的方法处理 我先把这里擦掉 把这个先擦掉 然后往下画长一点 这样我可以往下标出-5 不用让坐标看起来太混乱 好了,我们可以接着 沿着y轴标示数字了 这里是1...2...3 这里是-1 然后-2,这些数只是按惯例标示 当然也可以从下往上标示y轴 我们在这里写上x 这里写y 使这个方向表明这方向 这个方向表明负方向 当然这些人们习惯采用的表达方式 是有笛卡尔首先发明的 这是-2, -3, -4以及-5 他说“任何东西 我都可以对应” “我能将这些对子对应于” “二维上的一个点” “我可以找到x和x的关联值.” “比如说在-2这里取为x值” “它大概就是在原点左侧的这个位置” “我将它标示在左侧表示负值” 再来看这个点在纵坐标上是-5 因此我知道y的值是-5 因此我从原点向左移2个单位再往下移5个单位 于是在这里就是我需要的点 因此他说“这两个值是-2和-5” “而我可以将他们和这个点联系起来” 在右边的二维平面中 每一个点有两个坐标值 你来告诉我在哪里我可以找到点(-2,-5)? 这些坐标叫做笛卡尔坐标 以奈勒笛卡尔命名 因为他发明了这些东西 笛卡尔出人意料将这些关系与 坐标平面上的点联系到了一起 之后他说 好吧 让我们用另一种方法试一下 是的 这里还有另外一种关系 在表中可见当x为-1时 y是-3 于是x是-1 y是-3 就是这里这个点 任然是惯例 当你列出两个坐标的值时 你先列出x坐标,然后列出y坐标 这就是人们通常习惯的方式 点(-1,-3)就是这个位置上的点 接着你找到x是0,y是-1的点 当x是0的时候 意味着我在原点不需要向左或者向右 而y是-1意味着要向下移动一个单位 因此点(0,-1)就是在这里 嗯,在这里 我可以接着这么做 当x是1时,y是1 当x是2时,y是3 让我用同样的紫色来描点 当x是2,y是3,点(2,3) 在这里用橙色表示出(1,1) 这样整体看起来很整齐 我只是想举例说明x的可能点 但是笛卡尔意识到 你不只可以列出这些x可能的值 还可以不停列出x的其他值 如果你尝试列出某个区间x的所有可能值 你事实上就描绘出了一条线 因此如果你标出了所有可能的x值 你将得到一条线 那看起来就像...这样 这样一种关系 如果你选择任意的x 就可以在线上的点找到相对应的y值 或者用另外一种方式思考这个问题 这条线上任意一点表达了 这个等式的一个解 就在这里 所以如果你在这里选一个点 看起来x值大概是1.5 y是2 让我写下来 (1.5,2) 这是这个等式的一个解 当x是1.5时,2*1.5是3,再减去1得到2 就得到这个了 因此出人意料他能够搭桥 将代数和几何连接了起来 现在我们可以直观看到每一对x和y的值 都可以满足这个等式 而他就是这一连接的创造者 这就是为什么坐标 标识这些点的坐标 叫做笛卡尔坐标 就像我们看到的第一种等式 我们将在这里学习这种形式的等式 和传统的代数课程 他们叫做线性方程组 线性方程组 也许你会觉得 好吧 你看这是一个等式 我可以看出这个等于它自身 但它们之间的线性关系是指什么? 是什么使它们看起来像一条线? 为了了解为什么它们是线性的 你必须做到奈勒笛卡尔所做的跳跃 因为 如果你要绘制这种关系 用笛卡尔坐标系 在欧几里德平面上 你会得到一条直线 在将来你还会看到 一些不会得到直线的等式 而是一些疯狂或稀奇古怪的曲线