神奇的代数

在我们学习代数之前 我想引用人类历史上最伟大的人物之一说的一句话 那就是伽利略 伽利雷说的，因为我觉得这句话很好的总结了代数 和通常意义上的数学的真谛 他说：”展现在我们眼前的那本大书里书写了哲学 我指的是宇宙 但如果我们不先学习这门语言 和掌握用来书写的符号的话我们就不会理解宇宙 这本书是用数学语言来写的 没有数学的话一个人就会在黑暗的迷宫中徒劳地徘徊“ 这么说很夸张但也很深刻 这就是数学的本质 随着我们开始慢慢深入代数 我们看到的是我们将要从把事物抽象化开始 我们将要开始接近的核心思想 就是解释宇宙是如何组织起来的 当然这些想法可以被应用到很多东西上 比如天文学 经济学 物理学和化学 但是从本质上说这些理念都是一样的 所以它们比其他任何一种应用都更加基础 更加纯粹 要明白我的意思就要从最基本的想法开始 让我们从……我想我们可以 从用数学来书写的宇宙广阔哲学开始 但是让我们从一个非常具体的简单问题开始。我们将继续抽象事物 来看看同样的想法是如何和我们宇宙中很多领域联系在一起的 假设我们在一家商场里 我们打算买点东西，正好还有打折 折扣是七折 我一般不在很贵的店里买东西 让我们假设我对一条裤子感兴趣 打折前这条裤子是20美元 这就是我要在这条裤子上花的钱 我对这条20美元的裤子感兴趣 更好的是这条裤子可以打七折 那么我将要从20美元中节省多少钱呢？ 这就是代数 这种情况你可能以前遇到过 你可以用30%乘以20美元 所以你的折扣等于 你可以写下30%乘以20美元 我们用紫色来写20美元 或者你可以写 如果你想的话 这是一个小数 你可以写成0.30*20美元 如果你要做数学的话 你会得到6美元 这里没有什么新东西 但是如果我想概括一点呢？ 这是这条特定的裤子的折扣 但是如果我想知道 商场里任何东西的折后价呢？ 那么我可以说 假设x是原价 让我们用另一种颜色 我只是做个标记 假设x是我想买的商品的价格 这是商场商品的原价 我们可以说折扣 是七折 30%乘以x 或者我们想写成小数的话 我们可以把30%写成小数 我们可以写0.30乘以x 现在有趣的事发生了 现在你给我商场里任何一件商品的价格 我可以用x替换它 然后我可以乘以0.3倍 就会得到折后价 现在我们慢慢开始 进入代数的抽象中 我们可以看到当我们开始学习越来越多的代数问题后 它们变得更加细微和深刻了 实际上也更优美了 但我们并不止步于这里 我们还可以更加抽象 刚才我们说过 我们可以概括为任何一种商品 我们不只是在说这条20美元的裤子 如果有个10美元的商品 我们可以把10美元商品放在这当x 然后我们可以说0.30乘以10 这个折后价是3美元 也有可能是件100美元的商品 那么折后价就是30美元 但是让我们更概括点 假设“当折扣是一个特定值的话 那么任何一种商品的折后价是多少呢？“ 现在我们可以说那个折后价 我先定义下变量 让我们假设一个值p，这样更有意义 p等于这个去掉的百分比 现在我们能做什么？ 现在我们可以说这个折扣 和这个去掉的百分比是一样的 在其他例子中我们选择了30% 但现在我们说p就是这个去掉的百分比 这是p 这是问题中商品要乘以的去掉的百分比 乘以这个价格，问题中商品的原价 那是x 这个折后价等于p乘以x 这下真有趣了 现在我们有一个计算折扣的通常办法 对任何给定的折扣和任何给定的商品x都可以用 我们不一定需要用这些单词和字母 我们可以说”假设y等于折后价“ 那么我们可以写下同样的基本想法 来代替写折后价 我们可以写 y等于去掉的百分比p 乘以商品原价 乘以x 你也可以用任何一种你想要的方式来定义这些字母 也可以不用写y 你可以写希腊字母 只要你记录下这个事实就是 符号代表的是实际的折扣 现在事情变得有趣了 因为我们可以使用这种关系 这种等式 你用y来等于这些东西 我们把这个叫做等式 这些可以用来 表示和商场折后价 完全没关系的东西 你也可以… 在物理学中你会看到 力等于质量乘以加速度 字母不一样 但理念是基本一致的 我们可以假设y等于力 m等于…或者质量等于p 我写下p等于质量 这不是一种定义它的直观方法 但是我想告诉你用同样的理念和关系 应用到两种不同的事物上 我们可以说x等于加速度 我们可以说x等于加速度 然后那个著名的”力等于质量乘以加速度“ 就可以重新写成 y—我们定义为力— 就等于质量 —我们将用p来表示— 就等于p乘以加速度 这里我们正好用字母x来表示 乘以x 这就是和刚才一样的方程式 这就是和刚才一样的方程式 我们还可以把这个方程式 应用在经济学上 或者用在经济学上 或者是计算机科学 或者逻辑学 工程学 任何学科—会计学— 这个方程式的应用 是无限的 这就是数学的灵活性 特别是代数的灵活性 我们可以聚焦于抽象 我们可以聚焦于抽象 我们可以操作抽象 从这些理念和操作中我们发现 它们可以被反复应用到 所有其他的应用中 而且更加灵活 这好像在告诉我们宇宙的真正结构 如果你把这些人类的定义 和人类的应用都剥离开的话 比如说我们可以说 ”看，如果y等于p乘以x“ 字面上如果一个人说 ”嗨，这是y“ 另一方面他又说”我有p乘以x“ 我可以说”好吧，你双手里是一样的东西“ 如果你想用一个数字除以它们其中一个 如果你想让它们仍然相等 你也要用这个数字除以另一个 比如说 让我们假设——我们知道y等于p除以x 如果你想让它们两个还相等该怎么办呢？ 如果y除以x的话等于？ y等于p乘以x y除以x 这和p乘x除以x是一样的 现在有趣的事来了 因为x除以p乘x 如果你先用一个东西做乘法 再用它来做除法的话 你会得到原来那个数 如果你先乘以5再除以5 你就会得到p 或者任何一个其他数字 所以这些可以取消 但我们可以操作抽象事物 让y除以x等于p 我们把x变成绿色 y除以x等于p 现在就有些含义了 对任何一个理念来说都具有含义 这个含义告诉我们宇宙的基本真理 对其他的应用来说几乎是不存在的 但是现在我们可以去把它们拿回来 放到任何我们可以应用的地方 真正有趣的事是我们将要发现一个新的 应用是无限的 而实际上我们对大多数的应用都不了解 在一千年里 我们将要发现新的应用 希望这些能让你们明白 为什么伽利略说 数学是一种语言 我们靠此了解宇宙的哲学 那就是人们为什么告诉我们 如果一种外星生命要和人类接触 数学将是我们的第一步 从中可以形成一个基础 我们可以开始互相沟通