指数衰减介绍

在这个视频中， 我们先来回忆一下 什么是指数式增长， 然后以此为基础， 我们再来学习指数式衰减的概念。 我们先来复习指数式增长。 比如我们有， 我在这里画个表格。 这条线直一些。 这一列是 x，这一列是 y。 现在我们说， 当 x = 0 时，y = 3。 然后，每当 x 加 1，y 都乘以 2。 所以这里 y 是 6。 然后 x 又加 1，等于 2， y 又乘以 2， 6 乘以 2 等于 12。 这就是指数式增长。 你也可以往 x 轴的负向走， 当 x = -1，这就相当于向后走了 1， 我们就除以 2。 这就等于 3/2， 3/2。 注意如果你是从 -1 到 0， 仍然是乘以 2， 和前面的规律一样。 我们可以用一个方程来描述， 你可以说 y 等于， 有时候这个叫做 y 轴截距， 或者叫做初始值， y 轴截距等于 3， 这实际上就是 x 等于 0 时 y 的值， y 等于 3 乘以公比， 公比就是每次 x 加 1 时 y 要增大的倍数。 所以是 3 乘以公比 2 的 x 次方。 你可以验证一下， 随便选个数， 当 x = 2 时，y 就等于 3 乘以 2 的平方，也就是 3 乘以 4， 果然等于 12。 从图像中可以看得更清楚， 我要来画个图。 画直线暴露了我手残。 好了，画好了。 看， 这个图像中的 x 和 y 轴的尺度稍有不同。 这是 x 轴，这是 y 轴。 我们从 -1 到 1 再到 2， y 轴我们最大值是 12， 这是 3，6，9， 这是 12。 我们把这些点画出来， x 等于 -1 时，y 等于 3/2， 就在这里，当 y 等于 0 时， 不对，x 等于 0 时，y 等于 3。 当 x 等于 1 时，y 翻倍， 等于 6。 x 等于 2 时，y 等于 12。 你能看到这个增长曲线。 指数曲线的很多性质， 我们之前都讲过， 当你向 x 轴的负向看过去， 曲线就会趋近于 x 轴。 x 值越来越小时， 函数值永远不会等于 0， 但它是趋向于 0 的。 如果沿着正方向去看， 曲线会直刺天际。 上一课提到过， 这个曲线会向上穿过 所有的线性函数。 现在，我们可以用它来比较指数式衰减， 指数式衰减。 你可以这么想， 每次 x 的增长， 导致的不是 y 的放大，而是缩小。 这就是衰减。 我们来画另一张表， 列出 x 和 y 的值。 哎呦哎呦， 按理说，我按住 shift 键， 应该能画出直线啊， 可能是我总在这吃东西， 键盘里掉了些渣渣，不灵了。 哈哈哈。 我们看， 这是 x 这是 y， 我们还是从 同样的初始值开始。 当 x 等于 0，y 等于 3。 当 x 增大 1 时，我们这回不把 y 翻倍了， 我们让 y 每次缩小一半。 因此 x 等于 1 时， 我们要乘以 1/2，等于 3/2。 x 等于 2 时，再乘以 1/2， 等于 3/4， 就这么继续下去。 x 取负值时， 当 x = -1， 这是 x 减小了 1， 我们应该除以 1/2， 等于 6。 或者从 -1 到 0， x 增加了 1， 函数值乘以 1/2。 方程怎么写呢？ 暂停视频， 自己先想想，跟前面很相似。 形式应该很相似。 也就是 y 等于 这里是 y 轴截距的值， 也就是 x 等于 0 时，y 的值。 就是 3，然后乘以，公比是多少？ 每次 x 增加 1， y 的值都乘以 1/2， 所以这是 1/2 的 x 次方。 注意，这两者都是指数形式。 都是 y 轴截距，或者说是初始值， 乘以某个公比的 x 次方。 某个公比的 x 次方。 请注意，这是统一的概念， 当公比，或者公比的绝对值 大于 1 时，就是指数式增长。 我写下来。 这道题中，2 的绝对值大于 1。 但是当它的绝对值小于 1 时， 就是指数式衰减。 这是有道理的， 如果绝对值小于 1， 比如 1/2，3/4 或者 0.9， 不断的乘它， 值就会变得越来越小。 在图中很明显。 我们来在这里画一下。 用另一种颜色， 用蓝色吧。 x = -1 时， y = 6。 x = 0 时，y = 3。 x = 1 时，y = 3/2。 x = 2 时，y = 3/4。 然后继续。 请注意，因为我们这两个公比是倒数， 因此这两个函数图像看起来是对称的。 它俩是沿 y 轴对称。 这是指数式衰减， 你可以看到， 会变得越来越小， 但永远到不了 0。 它会趋近于 0， 当 x 越来越大时， 它会趋近于 x 轴。 很像指数式增长， 当 x 越来越小时， 函数值也是趋近于 x 轴。 基本概念介绍完了。 这是很特殊的例子，但是一般来说， 如果方程的形式是 y 等于 A 乘以 某个公比的 x 次方， 可以这样写， 看起来清晰一些。 我们有很多种表示方法。 当 r 的绝对值大于 1 时， 这就是指数型增长， 因为每当 x 增加， 函数值都乘以更多的 r。 当 r 的绝对值小于 1 时， 这就是指数式衰减了。 随着 x 的增加，函数值在衰减。 现在，你想一想， 当 r 等于 1 时是什么情况。 这时会是什么情况。 这有点脑筋急转弯的意思， 因为很明显， 当 r 等于 1， 这些就永远等于 1， 这就只剩下常数函数， y 等于 A，这应该是一条水平线。