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主要内容

指数衰减介绍

如果r> 1,则指数函数a⋅rˣ增大(增加);而如果 1 < r < 0 ,则指数函数a⋅rˣ减小(降低)。 我们展示了几个指数增长和衰减的示例,并突出显示了两者之间的关系。

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视频字幕

在这个视频中, 我们先来回忆一下 什么是指数式增长, 然后以此为基础, 我们再来学习指数式衰减的概念。 我们先来复习指数式增长。 比如我们有, 我在这里画个表格。 这条线直一些。 这一列是 x,这一列是 y。 现在我们说, 当 x = 0 时,y = 3。 然后,每当 x 加 1,y 都乘以 2。 所以这里 y 是 6。 然后 x 又加 1,等于 2, y 又乘以 2, 6 乘以 2 等于 12。 这就是指数式增长。 你也可以往 x 轴的负向走, 当 x = -1,这就相当于向后走了 1, 我们就除以 2。 这就等于 3/2, 3/2。 注意如果你是从 -1 到 0, 仍然是乘以 2, 和前面的规律一样。 我们可以用一个方程来描述, 你可以说 y 等于, 有时候这个叫做 y 轴截距, 或者叫做初始值, y 轴截距等于 3, 这实际上就是 x 等于 0 时 y 的值, y 等于 3 乘以公比, 公比就是每次 x 加 1 时 y 要增大的倍数。 所以是 3 乘以公比 2 的 x 次方。 你可以验证一下, 随便选个数, 当 x = 2 时,y 就等于 3 乘以 2 的平方,也就是 3 乘以 4, 果然等于 12。 从图像中可以看得更清楚, 我要来画个图。 画直线暴露了我手残。 好了,画好了。 看, 这个图像中的 x 和 y 轴的尺度稍有不同。 这是 x 轴,这是 y 轴。 我们从 -1 到 1 再到 2, y 轴我们最大值是 12, 这是 3,6,9, 这是 12。 我们把这些点画出来, x 等于 -1 时,y 等于 3/2, 就在这里,当 y 等于 0 时, 不对,x 等于 0 时,y 等于 3。 当 x 等于 1 时,y 翻倍, 等于 6。 x 等于 2 时,y 等于 12。 你能看到这个增长曲线。 指数曲线的很多性质, 我们之前都讲过, 当你向 x 轴的负向看过去, 曲线就会趋近于 x 轴。 x 值越来越小时, 函数值永远不会等于 0, 但它是趋向于 0 的。 如果沿着正方向去看, 曲线会直刺天际。 上一课提到过, 这个曲线会向上穿过 所有的线性函数。 现在,我们可以用它来比较指数式衰减, 指数式衰减。 你可以这么想, 每次 x 的增长, 导致的不是 y 的放大,而是缩小。 这就是衰减。 我们来画另一张表, 列出 x 和 y 的值。 哎呦哎呦, 按理说,我按住 shift 键, 应该能画出直线啊, 可能是我总在这吃东西, 键盘里掉了些渣渣,不灵了。 哈哈哈。 我们看, 这是 x 这是 y, 我们还是从 同样的初始值开始。 当 x 等于 0,y 等于 3。 当 x 增大 1 时,我们这回不把 y 翻倍了, 我们让 y 每次缩小一半。 因此 x 等于 1 时, 我们要乘以 1/2,等于 3/2。 x 等于 2 时,再乘以 1/2, 等于 3/4, 就这么继续下去。 x 取负值时, 当 x = -1, 这是 x 减小了 1, 我们应该除以 1/2, 等于 6。 或者从 -1 到 0, x 增加了 1, 函数值乘以 1/2。 方程怎么写呢? 暂停视频, 自己先想想,跟前面很相似。 形式应该很相似。 也就是 y 等于 这里是 y 轴截距的值, 也就是 x 等于 0 时,y 的值。 就是 3,然后乘以,公比是多少? 每次 x 增加 1, y 的值都乘以 1/2, 所以这是 1/2 的 x 次方。 注意,这两者都是指数形式。 都是 y 轴截距,或者说是初始值, 乘以某个公比的 x 次方。 某个公比的 x 次方。 请注意,这是统一的概念, 当公比,或者公比的绝对值 大于 1 时,就是指数式增长。 我写下来。 这道题中,2 的绝对值大于 1。 但是当它的绝对值小于 1 时, 就是指数式衰减。 这是有道理的, 如果绝对值小于 1, 比如 1/2,3/4 或者 0.9, 不断的乘它, 值就会变得越来越小。 在图中很明显。 我们来在这里画一下。 用另一种颜色, 用蓝色吧。 x = -1 时, y = 6。 x = 0 时,y = 3。 x = 1 时,y = 3/2。 x = 2 时,y = 3/4。 然后继续。 请注意,因为我们这两个公比是倒数, 因此这两个函数图像看起来是对称的。 它俩是沿 y 轴对称。 这是指数式衰减, 你可以看到, 会变得越来越小, 但永远到不了 0。 它会趋近于 0, 当 x 越来越大时, 它会趋近于 x 轴。 很像指数式增长, 当 x 越来越小时, 函数值也是趋近于 x 轴。 基本概念介绍完了。 这是很特殊的例子,但是一般来说, 如果方程的形式是 y 等于 A 乘以 某个公比的 x 次方, 可以这样写, 看起来清晰一些。 我们有很多种表示方法。 当 r 的绝对值大于 1 时, 这就是指数型增长, 因为每当 x 增加, 函数值都乘以更多的 r。 当 r 的绝对值小于 1 时, 这就是指数式衰减了。 随着 x 的增加,函数值在衰减。 现在,你想一想, 当 r 等于 1 时是什么情况。 这时会是什么情况。 这有点脑筋急转弯的意思, 因为很明显, 当 r 等于 1, 这些就永远等于 1, 这就只剩下常数函数, y 等于 A,这应该是一条水平线。