指数增长和衰变

（话外音）这是可汗学院 指数函数的基本作图的题目 要求我们做出以下指数函数的图形 这里给出的函数为 h(x)等于27乘以3分之一的x次方 所以我们的初始值是27，而3分之一是公比 这是一个标准的指数函数 这里给出了一些基本的作图工具 用这些工具我们可以来确定2个点 我们也可以确定出 一个水平的渐近线 依次来构建出我们的函数表达 而这3件事情足够用以确定 做出一个指数函数的图形，如果我们知道 它是一个指数函数 我们来多想一想 所以最容易想到的是 来考虑一下它的初始值 它的初始值就是当x等于0的时候 x等于0，3分之一的0次方 等于1，那么27乘以1就等于27 这就是为什么我们称这个数 当您写出这个形式的时候 您就称其为初始值 所以当x等于0 h(x)就等于27 现在我们来做图y=h(x) 所以现在来画出另外一个点 我们再来想一想 当x等于1的时候 当x等于1的时候，h(x)等于多少 就等于3分之一的1次方 也就是1/3 那么1/3乘以27就等于9 所以当x等于1的时候，h(1)=9 我们可以来验证一下 现在我们来想想 首先来想想渐进线 当x变得 越来越大，越来越大时情况如何 1/3的非常大的一个数的方次 比如说10次方，或者说100次方 又或者说1000次方，这个项 就会趋向于0，随着x变得 相当相当大的时候 而当一个接近0的数乘以27 那么结果也会趋向于0 所以我们的水平渐近线会接近0 您可以验证是正确的 我们只用2个点就可以来验证 图形上告诉我们当x等于2 y就是h(x)就会到达这个点(2,3) 所以h(2)=3 您可以验证这个结果是正确的 如果x等于2，1/3的平方等于9 喔对不起，1/3的平方是1/9 乘以27等于3 我们可以看到答案是正确的 当x等于2，h(2)=3 所以我感觉很好 我们再来做一个 来做另一个指数函数图形 同样的道理 当x=0的时候，g(0)就会 回到初始值 然后您往下走 初始值等于负30 我们再来看当x等于1的情况 当x等于1的时候，2的一次方就是2 所以2乘以负30等于负60 所以当x等于1 图形上显示的值为负60 现在我们来考虑一下这个渐进线 它应该落在哪里 所以我们来思考当x 变成愈来愈大的负数时 所以当x是一个非常大的负数 2的负1次方是1/2 2的负2次方是1/4 2的负3次方是1/8 当指数向越来越大负数走的时候 或者是一个特别大的负值 或者换句话说，当x变得 越来越往负值发展 2的那个负值方次就会接近0 所以负的30次方就会接近0 越来越趋向0 所以这条渐近线是处在正确的位置上 当x接近无限负值时是一条水平渐近线 而当我们这条线往左边移动 这个函数的值就会趋向于0 现在我们看到是从下面向上无限趋近于0 我们可以看到是在x轴下方 因为我们已经看到了函数的初始值 而且我们用那个共同的比率找到了另外一点 希望您发现这堂课很有趣