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看图书写指数函数

给定这些函数的图,写出形式为f (x) = mx + b 的线性函数和形式为g (x) =a⋅rˣ的指数函数。 Sal Khan 创建

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- [讲述者] 线性函数f(x) 等于mx加b 和指数函数g(x) 等于a乘以r的x次方 其中r大于0的图象 经过点(-1,9) 那么这里是负1,9, 和(1,1)。 两个图象都在下面显示了。 那么非常明显这是一个线性函数。 这是这里的这条直线。 然后这里的这个就是指数函数, 也就是在这里。 然后我们知道了这个指数函数 在x越来越大的时候一直在递减 这是一个很好的提示,它告诉了我们这里的这个r, 他们告诉了我们这个r大于0, 但是这是一个很好的提示 r应该在0和1之间。 g关于x的函数一直在接近, 越来越接近0 在x增加的时候。 不过还是让我们用他们给我们的数据吧, 两个交点, 来求出这两个函数的表达式都是什么。 那么首先我们可以尝试解决线性函数。 那么f关于x等于mx加b。 然后他们给了我们两个点。 我们可以用这些点先来求出斜率。 那么我们的m,这里的m,就是我们的斜率。 这就是我们的y轴变化量除以x轴变化量。 也就是纵轴的变化量 相对于横轴的变化量。 那么让我们来看看,在这两个点之间, x的变化是多少? 我们的x的变化, 我们从x等于负1到了x等于1。 x等于1。 那么我们可以想象我们在1的位置结束了。 我们从负1开始。 那么1减负1,我们的x的变化量为2。 我们从这里也能看到。 那么我们的y的变化量呢? 我们是从9开始的。 这里让我用另一个颜色来写。 我们从9开始的,然后我们结束在1。 我们是在1结束的。 我们从9开始的。 1减9是负8。 那么再澄清一下,当x等于1的时候,y等于1。 当x等于负1的时候,y是9。 另一个思考这个的方法是, 我画在这里的方式, 我们在x等于1的位置结束,y等于1。 我们从x等于负1,y等于9的位置开始, 那么我们只取了这之间的差距。 我们得到了负8除以2, 也就等于负4。 就等于负4。 那么现在我们可以把f(x)的表达式 写成负4, 负4,这是我们的斜率,乘以x。 负4乘以x加b。 然后你可以看到这里的这个斜率。 每当你增加你的... 每当你增加一个单位的x。 这里我需要稍微小心一些。 每当你增加一个单位的x, 你的y就在减少。 然后这里在x轴上,我们标记了每半个单位。 那么每当你增加一个单位的x, 你的y就在减少。 这里你的y减少了4个单位, 因此这里斜率为负4是合理的。 那么现在让我们思考一下b是什么。 要求出b,我们可以用这两个点中的任意一个 来求解,给定一个x,f关于x是多少, 然后我们就可以求出b是多少。 让我们试试1,因为1是一个比较容易的数字。 那么我们可以写f(1), 也就是负4乘以1加b。 然后他们告诉了我们f(1)的值是1,也就是等于1。 那么这里的这部分, 我们可以把它写作负4加b等于1, 然后我们可以往等式的两边都加一个4, 我们就得到了b等于5。 那么我们得到了f(x)等于负4x加5。 现在,这里的y-截距是5 是合理的吗? 你可以在这里看到。 通过检查,你实际上已经可以猜到了, 这里的y-截距是5, 但是现在我们已经解出来了。 这里可能是5.00001或者别的什么, 但是现在我们可以确定这就是负4x加5。 或者你也可以说, 如果斜率是负4, 如果这里是9, 你在x方向上增加1, 你就要在y方向上减少4, 这就会让你来到y等于5, 那么这也就是y-截距。 但是不管如何,我们已经求出了线性函数的表达式。 现在让我们来求指数函数。 那么这里我可以就用这两个点 来求出这两个未知数。 那么,比如说,让我们先来试试第一个点。 g(-1),也就是 这里的这个点, 就是a乘以r的负1次方。 他们告诉了我们g(-1) 的时候等于9。 g在x等于负1的时候等于9。 因此我们可以写a乘以r的负1次方。 这就相当于a除以r等于9, 或者我们可以对等式两边同时乘以r, 我们可以说a等于9r。 现在让我们来用另一个点。 他们告诉我们的这另一个点。 他们告诉我们g在x等于1的时候, 也就是 a乘以r的一次方或者也就是a乘以r, 这就等于1,或者a乘以r等于1。 那么我们可以如何使用这里的信息, a等于9r和a乘以r等于1, 来解出a和r呢? 那么,这里我有一个小的系统。 这是一个非线性系统,但是是一个比较简单的。 我们可以取这个a 然后把它代入这里的这个a, 那么我们就会在a的位置得到9r。 这第一个限制条件告诉了我们a必须等于9r。 那么9r,在这里我不写a,我把它替换成9r, 乘以r等于1。 或者我可以写,让我往下划一点。 我们可以写9r的平方等于1。 两边同时除以9。 r的平方等于1除以9。 现在要求出r, 你可能会想对两边取正平方跟和负平方根 但是他们告诉了我们r大于0, 所以我们可以直接取两边的主根 然后我们就得到了r等于1/3。 然后我们可以把它代回到 这两个式子中的任何一个来求出a是什么。 我们知道a等于9乘以r。 那么9乘以1/3,a就等于3。 那么我们的指数函数就可以被写作g(x) 等于a,也就是3,乘以r,也就是1/3, 1/3的x次方。