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用基本指数函数建模的应用题

视频字幕

(读题)Sarah Swift因为在从单位回家的路上超速 得了一张罚单 如果她现在就付清,不会产生附加费用 如果她延迟支付的话,罚金就会 随着月份(t)的增加 而重新计费 她最终的罚款F,以欧元计算 显示在以下的表格里 这些数据是代表了 一个指数函数 这个表格显示了 付款延迟的月份 以及对应的罚款额 这些数据来自于 指数函数 这里要提醒一下指数函数 是什么样的函数呢 这个函数告诉我们 随着推迟付款的月份增加 罚款金额将等于某个数 乘以一个公比的t次方 这就告诉我们这个指数函数 实际上就是 将会以这个表达式表示出来 现在来看我们能不能回答他们的问题 第一个问题是这里的公比 在F的函数里是什么 为什么这里的r 会称之为公比的原因 是因为如果去看任何2个t 比如我们看到当t增加1的时候 那么F(t)的2个连续数值 的比率对于任何2个t都应保持一致 我来举个例子说明 F(2)对F(1)的比例 应该等于F(3)对F(2)的比例 也应该等于F(4)对 F(3)的比例 或者按照通用说法 F(t+1)比F(t)都是 相等的 这个结果就称为公比 我们来看这里的公比是多少 如果我们就只是看这个式子 就看这里 F(2)/F(1)等于多少呢 450除以300,等于1.5 就是1.5 675除以450,也是1.5 1012.5除以675,还是1.5 在以上所有情况下,公比都是1.5 所以这里的公比等于1.5 另一种方法 来把这个公比说得清楚 再次说明为什么叫公比 我们来用通用式子计算一下 F(t+1)就应该等于a乘以 r的(t+1)次方 F(t)就应该等于a乘以r的t次方 那么等于多少呢 那就等于 就等于r的(t+1-t)次方 那就等于r的一次方 也就是等于r 所以变量r 就等于这个公比 所以我们算出的公比是1.5 就告诉我们,函数的表达式是 F(t)等于a乘以r的t次方 我们知道r等于1.5 就是1.5的t次方 写出这个函数的表达式 我们几乎已经做好了 只是我们还没有算出a是多少 我们就可以用代入法算出a 我们知道F(1)等于多少 当t等于1,F(1)等于300 我们就可以用以上信息 算出a等于多少 我们也可以用任何一组数据算出a 我们就用这个来算 F(1)等于a乘以1.5的一次方 或者说a乘以1.5,就将等于 这里我们知道F(1)等于300 我们换一个写法 1.5乘以a等于300 等式2边同时除以1.5 a就等于200 那么我们的函数表达式可以为 我用黑色来写更能看得清楚一些 我们的a是等于200 乘以1.5的t次方 另一种方法 我们或者直接到下一道问题 这张罚单的罚款金额是多少 如果她准时付款的话 准时付款,意味着t等于0 换一个方法来想这个问题 我们就是要算出t等于0的时候罚款是多少 所以就是要算F(0)是多少 那么F(0)是多少呢 就等于200乘以1.5的0次方 1.5的0次方等于1 那就等于200欧 另一种方法来想这个问题 我们来看公比 从675到450 其实就是除以公比得出的结果 从450到300,也是除以公比得到的 那么当t从1变为0的时候 就再除以公比一次 那么就等于200 或者换一种方法考虑 每过一个连续的数值,这里就是到下一个月份 就乘以一次公比 每次我们做乘法 就是乘以公比一次