线性模型应用题：书本问题

－【画外音】直也有一次从头到尾 看完了一本书，速度是每小时 55 页。 每小时 55 页。 阅读了四小时后， 他还有 330 页还没有读完。 这本书一共有多少页？而直也 读完整本书用了多少时间？ 有很多方法可以解答这个问题。 象往常一样，建议暂停视频思考一下，试试看能否解答。 我要首先采用一个方法，然后换个 方法再解一遍。 第一个办法，先列一个表格。 在一列里，先考虑 直也阅读花费的 小时数，就是“时间”。 用 “T” 代表用小时为单位的时间。 这是他阅读花的时间，而在这一列， 是他还没有读完的页数。 我们以 “L” 来表示还没有读完的数量。 这样它的单位 就是页数。 从已知的信息，我们不知道在花费零小时那一刻， 有多少页还没有读过， 也就是他开始读之前， 还没有读过的部分，就是整本书。 那就是问题 “整本书有多少页” 的答案。 这是我们关注的数字。 过了一小时，我们也不知道剩多少页没读完， 但是题目告诉我们，阅读四小时后， 还剩下 330 页 没有读完。 因此四小时后，还剩下 330 页没有读完。 从这个信息出发，在加上 他每小时阅读 55 页， 能让我们算出所需要的答案吗？ 请注意，每过一小时， 他就读完 55 页。 所以如果他的速度是每小时 55页，而这个 330 页， 不是他完成的页数， 而是还没有读到的页数。 这样每过一小时，他的未读页数就减少 55 页。 因此从一开始阅读三小时后，他的未读页数应该多 55 页。 所以阅读三小时后，他的未读页数是 330 加上 55 页， 应该等于 385 页。 现在我们来思考其中的道理。 当时间变化时，这个象三角形的符号 是希腊字母 Delta，意思是“变化”。 当时间的变化是 + １，即 + １ 小时， 所剩的未读页数的变化 就是 －55 页。 这样是合理的，每过一小时后的 未读页数在减少。 我们计数的不是他读完了多少页， 而是还有多少页他还没有读。 所以这个未读页数每小时减少 55 页。 如我们让时间倒流， 未读页数就应该增加。 因此在读完两个小时后，他的未读页数应该增加 55 页。 385 加上 55 是多少？ 385 加上 5 是 390，再加上 50 等于 440。 所以这时他的未读页数是 440，因为我又加了 55 页。 再考虑如果他只读了一小时， 比起读了两小时后的又多了 55 页 的未读页数。 440 加上 55 等于 495页。 现在来考虑他开始阅读之前， 或者他刚开始阅读之时， 比起读了一小时后就得又多 55 页的未读页数， 因为这一小时内他完成了这 55 页。 这样 495 加上 55 ， 495 先加 5，就得 500， 再加 50，得到 550页。 因此在阅读时数等于零时有 550 未读的页数。 这就是该书的页数。 那么直也用了多长时间读完整本书？ 我们可以接着一小时一小时往下算。 比如说，阅读了五个小时后， 未读页数比读了四个小时的还要减少 55 页。 算算看，如果从 330 页减少 50， 就得到 280 ， 然后再减去 5， 就是 275 页，接着还可以 一个小时接着一个小时往下减。 另一个方法是， 考虑他还剩下 330 页没完成，必须...， 我先把这个单位写清楚。 他的阅读速度是每小时 55 页， 单位就是页每小时。 计算就是 330 除以 55。 除以某数就相当于 乘以它的倒数，因此 除以 55 页每小时， 就相当于乘以 1／55 小时每页。 这样结果呢？ 页数的单位相互抵消, 结果是 330 除以 55 小时。 那是多少呢？ 30 除以 5 等于 6， 300 除以 50 也等于 6， 这样就等于 6 小时了。 要注意的是这 6 个小时 是在剩下 330 未读页数时所需 要的完成阅读的时间。 剩下 330 页时需要 6 小时来完成。 因此他一共需要 10 小时来完成阅读这部书。 读了四小时后，他剩下 330 页， 然后又用了 6 小时 才全部读完。 这样一共用了 10 小时。 我们也可以看这个结果是否合理。 如果他用 10 小时 读完 550 页，其阅读 速度是多少？ 550 除以 10， 刚好 等于 每小时 55 页。 这和题中已知的信息相同， 即他每小时读 55 页。 还有一个解题思路是， 把这个阅读过程 用线性方程来表示。 如果你熟悉线性方程， 先注意他的阅读速度是常数。 如果用这个方法， 先列出函数， 假设未读页数是时间的函数， 因为他的阅读速度是 每小时 55 页，这样其未读页数 每小时减少 55 页。 未读页数每小时减少 55 页。 因此你可以这样写， 加上初始页数。 加上初始未读页数。 然后你可以用这里的 信息来解未知数 b。 已知时间等于四小时的那一刻， 我用颜色来特别标识。 在时间等于四小时的那一刻， 未读页数是 330 页。 未读页数是 330 页，就有 方程 330 等于负 55 乘以 4 （就是 －220）再加上 b。 330 等于 －220 再加上 b， 这时在方程两边加上 220。 两边都加上 220， 左边等于 550， 而右边正负 220 相互抵消， 只剩下 b。yc 该函数表示 未读页数，它的 自变量是时间，因为他 每小时阅读 55 页，因此 未读页数随着时间增加而降低， 这就是为什么这里用负号。 所以该函数等于 －55 乘以小时数，再加上 550。 如果问题是 ”整本书有多少页？“， 可以令时间变量等于零来解答。 就是当时间等于零时 有多少未读页数。 我们看到自变量为零时该函数等于 550。 T 等于 0 时，我把它写下来， 函数 L 等于 550。 T 等于 0 时，这一项就没有了， 结果等于 550 页。 这样我们就解答了 这个问题。 另外的问题可以是这样，”这本书共 有 550 页，阅读的速度是每小时 55 页， 要用多少时间才能读完？“ 550 页除以每小时 55 页 就等于 10 小时。 现在看来，我们也可以用 这个方法来解。 原来我们的方法是以 330 页除以每小时 55 页， 得到 ”还有再花 六个小时才能读完。“ 现在我们也可以说， ”一共有 550 页未读， 而我们每小时读 55 页， 要花 10才能读完。“ 现在你知道有许多不同的方法 可以解这个问题。 而归根到底，这些方法 本质上是一样的。 这体现了数学的统一性。 数学代表思考问题 的方法，归根结底 不同的思路都是相通的， 只是可能用不同的方法 及不同的符号来表示。