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主要内容

单项式因式分解

学习如何完全分解单项式,或者找到单项式分解中缺失的因子.

学习这节课之前你应该掌握

单项式 是常量和 x的非负整数幂的乘积, 如 3, x, squared. 多项式 是由单项式的总和组成的表达式, 如 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.
如果A, equals, B, dot, C, 那么 BCA因子, 同时A 可以被BC整除. 想要复习这个知识点 ,点击因式分解和整除性.

本课内容

通过这篇课文,你将学习如何分解单项式.你将用到你已经学过的分解整数的知识.

引言: 什么是单项式分解?

分解 一个单项式意味着用两个或以上的单项式的乘积表达这个单项式.
例如,以下是8, x, start superscript, 5, end superscript的几种分解办法.
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 8, x, right parenthesis, left parenthesis, x, start superscript, 4, end superscript, right parenthesis
  • 8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, right parenthesis
请注意:如果你将等式右边的表达式相乘,你将得到8, x, start superscript, 5, end superscript.

反思题

小丁、小安和小璐要计算如何用两个单项式乘积表达20, x, start superscript, 6, end superscript,以下是他们的回答.
小丁小安小璐
20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, left parenthesis, 10, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis, left parenthesis, 5, x, cubed, right parenthesis20, x, start superscript, 6, end superscript, equals, left parenthesis, 20, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis
1) 谁对 20, x, start superscript, 6, end superscript 的分解是正确的?
选择所有正确的答案:

彻底分解单项式

回顾: 整数分解

为了彻底分解一个整数, 我们将它写成素数的乘积.
例如, 我们知道 30, equals, 2, dot, 3, dot, 5.

现在看看单项式...

为了彻底分解一个单项式,我们将它的系数写成素数的乘积展开变量.
例如,为了彻底分解10, x, cubed,我们可以将10分解成2, dot, 5,将x, cubed写成x, dot, x, dot, x. 因此以下是10, x, cubed的彻底分解:
10, x, cubed, equals, 2, dot, 5, dot, x, dot, x, dot, x

看看你的知识掌握地如何

2) 以下哪一项是 6, x, squared的彻底分解?
选出正确答案:

2) 以下哪一项是14, x, start superscript, 4, end superscript的彻底分解?
选出正确答案:

找出单项式的遗漏因子

回顾: 整数分解

假设我们知道对于某个整数b56, equals, 8, b成立,我们如何找到另一个因数?
我们可以将 56, equals, 8, b这个关于b的等式两边都除以8,遗漏的因子是7.

现在看看单项式...

我们可以把这些想法扩展到单项式. 例如, 假设某个单项 C符合8, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis, left parenthesis, C, right parenthesis. 我们可以通过将 8, x, start superscript, 5, end superscript除以4, x, cubed 来计算 C:
8x5=(4x3)(C)8x54x3=(4x3)(C)4x3两边都除以 4x32x2=C利用指数的性质简化\begin{aligned}8x^5&=(4x^3)(C)\\ \\ \dfrac{8x^5}{4x^3}&=\dfrac{(4x^3)(C)}{4x^3}&&\small{\gray{\text{两边都除以 }4x^3}}\\ \\\\\\ 2x^2&=C&&\small{\gray{\text{利用指数的性质简化}}} \end{aligned}
通过将4, x, cubed2, x, squared 相乘获得的乘积,我们可以检查我们的作业.
(4x3)(2x2)=42x3x2=8x5\begin{aligned}(\purpleC{4}\tealD {x^3})(\purpleC{2}\tealD{x^2})&=\purpleC 4\cdot \purpleC{2}\cdot \tealD {x^3}\cdot \tealD{x^2}\\ \\ &=\purpleC{8}\tealD{x^5} \end{aligned}

看看你的知识掌握地如何

4) 计算出遗漏的的因式 B ,以使以下等式成立.
28, x, start superscript, 5, end superscript, equals, left parenthesis, B, right parenthesis, left parenthesis, 7, x, right parenthesis
选出正确答案:

5) 计算出遗漏的的因式 C ,以使以下等式成立.
40, x, start superscript, 9, end superscript, equals, left parenthesis, C, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, cubed, right parenthesis
C, equals

不同的因式分解方法

数字12,我们有四种分解方法.
  • 12, equals, 2, dot, 6
  • 12, equals, 3, dot, 4
  • 12, equals, 12, dot, 1
  • 12, equals, 2, dot, 2, dot, 3
然而,对于数字12却只有一种素数分解,2, dot, 2, dot, 3.
这个思路对于单项式也有效.我们可以用不同的方法分解18, x, cubed.如下所示.
  • 18, x, cubed, equals, 2, dot, 9, dot, x, cubed
  • 18, x, cubed, equals, 3, dot, 6, dot, x, dot, x, squared
  • 18, x, cubed, equals, 2, dot, 3, dot, 3, dot, x, cubed
然而, 只有一种彻底的分解方法!
18, x, cubed, equals, 2, dot, 3, dot, 3, dot, x, dot, x, dot, x

挑战题

6*) 写出 22, x, y, squared的彻底分解.
22, x, y, squared, equals

7*) 以下矩形的面积为 24, x, cubed 平方米, 长度为 4, x, squared 米.
该矩形的宽度使多少?
start text, 宽, end text, equals

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