主要内容

课程: 代数1 > 单元 15

课程 3: 通过提取公因式来对多项式进行因式分解

通过提取公因式来对多项式进行因式分解

学习如何从多项式中提取一个公因式。例如，把6x²+10x分解成2x(3x+5)。

学习这节课之前你应该掌握

两个或多个单项式的 最大公因数 是他们所有共有的质因数的乘积。例如，

6 x

和

4 x^{2}

的最大公因数是

2 x

。

如果这些对你来说是新知识，你可以查看单项式的最大公因式文章。

本课内容

在这节课中，你会学习如何从多项式中提取公因数。

分配律： $a (b + c) = a b + a c$ ‍

为了学习如何提取公因数，我们必须理解 分配律。

例如，我们可以应用分配律去求

3 x^{2}

和

4 x + 3

的乘积，如下：

3 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (4 x + 3) = 3} x^{2} (4 x) + 3} x^{2} (3)

注意二项式中的每一项是如何与公因式

3 x^{2}

相乘的。

除此之外，由于分配律是一个等式，反过来的过程一样成立！

3 \overset{⏜}{x^{2} (4 x) + 3 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 3}} x^{2} (4 x + 3)

如果我们从

3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} (3)

着手进行因式分解，可使用分配律提取

3 x^{2}

并得到

3 x^{2} (4 x + 3)

。

结果是用 因式分解形式 表示的，因为它被写成两个多项式的乘积，而原表达式是两项之和。

看看你的知识掌握地如何

问题1

将 $2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍ 写成因式分解形式。

提取最大公因数（GCF）

从多项式中提取最大公因数，我们执行以下操作：

找出多项式所有项的最大公因数。
将每一项用最大公因数和其他因数的乘积表示出来。
用、根据分配率的原则提取最大公因数。

我们从

2 x^{3} - 6 x^{2}

中提取最大公因数。

步骤 1：找出最大公因数

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

因此

2 x^{3} - 6 x^{2}

中的最大公因数是

2 \cdot x \cdot x = 2 x^{2}

。

步骤 2：将每一项用 $2 x^{2}$ ‍ 和其他因数的乘积表示出来。

$2 x^{3} = (2 x^{2}) (x)$ ‍
$6 x^{2} = (2 x^{2}) (3)$ ‍

因此这个多项式可以被写成

2 x^{3} - 6 x^{2} = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (3)

。

步骤 3：提取最大公因数

现在我们可以运用分配律提取

2 x^{2}

。

2 \overset{⏜}{x^{2} (x) - 2 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 2}} x^{2} (x - 3)

验证结果

我们可以通过将

2 x^{2}

乘回到多项式中来检验我们的因式分解是否正确。

2 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (x - 3) = 2} x^{2} (x) - 2} x^{2} (3)

结果与原多项式相同，我们的因式分解是正确的！

看看你的知识掌握地如何

问题2

提取 $12 x^{2} + 18 x$ ‍ 的最大公因数。

问题3

提取下面多项式的最大公因数。

10 x^{2} + 25 x + 15 =

问题 4

提取下面多项式的最大公因数。

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

我们可以更有效率吗?

如果你觉得提取最大公因数的过程很容易，可以尝试一种更快的方法：

一旦我们知道了最大公因数，因式分解形式仅仅是最大公因数与原多项式中的项除以最大公因数的和的乘积。

例如，看看我们如何使用这个方法快速因式分解

5 x^{2} + 10 x

，它的最大公因数是

5 x

：

5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)

提取二项式形式的因数

多项式的公因数不一定非得是单项式。

例如，思考多项式

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

。

注意此多项式

2 x - 1

在两项中是共有的。我们可以用分配律将其提出：

x (2 x \overset{⏜}{- 1) - 4 (2 x \overset{⏜}{- 1) = (x - 4) (2 x -}} 1)

看看你的知识掌握地如何

问题5

提取下面多项式的最大公因数。

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

不同类型的因式分解

似乎我们已经在几个不同的运算过程中用到了 "因数" 这个术语：

我们通过将单项式写成其他单项式的乘积形式来分解该单项式。例如， $12 x^{2} = (4 x) (3 x)$ ‍。
我们运用分配律从多项式中提取最大公因数。例如， $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍。
我们提出二项式形式的公因式。结果表示为等于两个二项式的乘积。例如：

x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)

虽然我们使用了不同的技巧，但在每一种情况下我们都将多项式写成两个或多个因数的乘积。因此，在上述三个例子中，我们的确 因式分解 了这些多项式。

挑战题

问题6

提取下面多项式的最大公因数。

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} =

问题7

一个面积为

14 x^{4} + 6 x^{2}

平方米的大矩形被分成两个面积分别为

14 x^{4}

和

6 x^{2}

平方米的小矩形。

矩形的宽 (米) 等于

14 x^{4}

和

6 x^{2}

的最大公因数。

大矩形的长和宽各是多少？

宽 =

米

长 =

米

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排序方式:

Shiphrah
发布于 1 年前。直接链接到 Shiphrah 的帖子 “在不同类型的因式分解中第三点：“提出二项式形式的公...”
在不同类型的因式分解中第三点：“提出二项式形式的公因式。结果表示为等于两个二项式的乘积。例如：x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2)."中虽然有解释但还是不太清楚意思是什么。
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答案

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提取最大公因数 （GCF）

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提取二项式形式的因数

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不同类型的因式分解

挑战题

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