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主要内容

代数1

课程: 代数1 > 单元 15

课程 5: 因式分解二次多项式：简介
数学
代数1
因式分解
因式分解二次多项式：简介
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分解二次表达式：首项系数 = 1

Google课堂
学习如何将一个二次表达式分解为两个一次二项式的乘积。例如， x²+5x+6=(x+2)(x+3)。

学习本节课之前你需要了解的内容

因式分解一个多项式需要先写成两个或以上多项式乘积的形式.它正好与多项式相乘相反.如需了解更多，请查看我们前一讲关于提取公因数的内容.

本课内容

本节课，你将要学习如何因式分解一个 x, squared, plus, b, x, plus, c 形式的二次多项式

复习: 二项式相乘

让我们以表达式 left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis为例。
我们可以多次使用分配律来求它的乘积。
所以我们得到 left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8.
于是我们看到x, plus, 2 和 x, plus, 4 是x, squared, plus, 6, x, plus, 8的两个因式，但是如果不这样做我们如何找出多项式的因式呢？

因式分解三项式

我们可以把上述二项式相乘的步骤反过来，来因式分解一个三项式（即只有三项的多项式）.
换句话说，如果看到一个多项式 x, squared, plus, 6, x, plus, 8，我们可以先用因式分解把它写成两个二项式乘积的形式：left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
我们一起通过几个例子来看一下怎样做.

例题 1: 因式分解 x, squared, plus, 5, x, plus, 6

为了分解 x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff，我们首先需要找出相乘得 start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff (常数) 且相加得 start color #e07d10, 5, end color #e07d10 ( x 的系数) 的两个数.
因为 start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 且 start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5，可知这两个数分别为 start color #11accd, 2, end color #11accd 和 start color #1fab54, 3, end color #1fab54 .
然后我们把这两个数分别与 x 相加，写成两个二项式的形式: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis and left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
整理一下，该三项式因式分解的结果如下：
x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis
我们可以通过展开两个二项式乘积来检验因式分解是否正确.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
x, plus, 2 和 x, plus, 3 的乘积的确是 x, squared, plus, 5, x, plus, 6.我们刚才因式分解的结果是正确的！

看看你的知识掌握地如何

1) 因式分解 x, squared, plus, 7, x, plus, 10.
选出正确答案：

2) 因式分解 x, squared, plus, 9, x, plus, 20.

下面通过更多例题来看我们可以从中学到什么.

例题 2: 因式分解 x, squared, minus, 5, x, plus, 6

为了分解 x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff，我们首先找出两个相乘得 start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff 且相加得 start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10的数.
因为left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 且 left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5，可知这两个数分别为start color #11accd, minus, 2, end color #11accd 和 start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54 .
然后我们把这两个数分别与 x 相加，写成两个二项式的形式: left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis 和 left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
分解因式如下：
x2−5x+6=(x+(−2))(x+(−3))=(x−2)(x−3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
因式分解思路: 注意需要分解 x, squared, minus, 5, x, plus, 6 的两个数left parenthesis, minus, 2 和minus, 3, right parenthesis都是负的.这是因为它们的乘积需要是正数.这是因为它们的乘积需要等于 left parenthesis, 6, right parenthesis 且和需要是负数 left parenthesis, minus, 5, right parenthesis.
一般来说，因式分解 x, squared, plus, b, x, plus, c的时候，如果 c 是正数且b 是负数，那么两个因数一定都是负的.

例题 3: 因式分解 x, squared, minus, x, minus, 6

我们可以把 x, squared, minus, x, minus, 6 写成 x, squared, minus, 1, x, minus, 6.
为了分解 x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff，我们首先找出两个相乘得 start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff 且相加得 start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10的数.
由于 left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 6 且 start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 1，这两个数分别是是 start color #11accd, 2, end color #11accd 和 start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54.
然后我们把这两个数分别与 x 相加，写成两个二项式的形式: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis and left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
分解因式如下：
x2−x−6=(x+2)(x+(−3))=(x+2)(x−3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
因式分解思路: 注意因式分解 x, squared, minus, x, minus, 6 时，我们需要一个正数 left parenthesis, 2, right parenthesis 和一个负数 left parenthesis, minus, 3, right parenthesis. 因为它们的乘积需要等于负数 left parenthesis, minus, 6, right parenthesis.
一般来说，因式分解 x, squared, plus, b, x, plus, c 的时候，如果 c 是负数，那么一个因数是正数另一个因数是负数.

总结

总的来说，因式分解一个三项式 x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff，我们需要找出 start color #aa87ff, c, end color #aa87ff 的因数，且这两个因数的和等于 start color #e07d10, b, end color #e07d10.
假设这两个数是 m 和 n ，满足 c, equals, m, n 且 b, equals, m, plus, n，那么 x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis.

看看你的知识掌握地如何

3) 因式分解 x, squared, minus, 8, x, minus, 9.

4) 因式分解 x, squared, minus, 10, x, plus, 24.

5) 因式分解 x, squared, plus, 7, x, minus, 30.

为什么这个方法可以因式分解多项式？

为了理解因式分解方法成立的原因，我们回到最开始的例子 ：将 x, squared, plus, 5, x, plus, 6 因式分解为 left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
如果我们返回去再把两个二项式因式相乘，就会发现start color #11accd, 2, end color #11accd 和 start color #1fab54, 3, end color #1fab54 在展开得到 x, squared, plus, 5, x, plus, 6 起到的作用.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+2⋅3=x2+(2+3)x+2⋅3\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
我们可以看出x项的系数是 start color #11accd, 2, end color #11accd 和 start color #1fab54, 3, end color #1fab54 和 ，且常数项是 start color #11accd, 2, end color #11accd 和 start color #1fab54, 3, end color #1fab54 的积.

和积式

我们再来用刚刚展开 left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis 的方法来求 left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+m⋅n=x2+(m+n)x+m⋅n\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
概括这一步骤，我们得出以下公式：
left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54
也称为和积法.
这也就解释了为什么我们一旦把一个三项式x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff表达为x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54（通过找到start color #11accd, m, end color #11accd 和 start color #1fab54, n, end color #1fab54两个数，满足 start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 且 start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54），就能把三项式分解为left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis形式.

反思题

6) 可以使用这个因式分解方法来分解 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1 吗?
选出正确答案：

何时使用这个方法来因式分解？

一般来说，和积法仅用于写成 left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis 形式的三项式，且 m 和 n 是整数.
也就是说只有三项式的首项必须是 x, squared (不能是其他，比如， 2, x, squared) 的时候才能使用这个方法. 这是因为 left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis 和 left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis 的乘积永远是首项为 x, squared 的多项式.
然而，不是所有首项为 x, squared 的三项式都可以被因式分解。例如，x, squared, plus, 2, x, plus, 2 就不能被因式分解，因为找不到两个相加等于2，且相乘等于 2的整数.
在之后的课程里，我们会学习更多方法来分解其他形式的多项式.

挑战题

7*) 因式分解 x, squared, plus, 5, x, y, plus, 6, y, squared.

8*) 因式分解 x, start superscript, 4, end superscript, minus, 5, x, squared, plus, 6.

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