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主要内容

分组法因式分解

学习一种叫做"分组"法的因式分解方法。例如,我们可以通过分组把 2x²+8x+3x+12写成(2x+3)(x+4)。

学习本节课之前你需要了解的内容

因式分解多项式需要我们将式子写成两个或多个多项式的乘积.这是多项式乘法的相反过程.
我们已经学习了一些因式分解的例子.在学习本章前,你应该已经熟悉掌握了提取公因式 .比如:6x2+4x=2x(3x+2) .

本课内容

在本章我们将会一起学习分解公因式的方法之一:分组分解法

例子 1: 因式分解 2x2+8x+3x+12

首先我们注意到 2x2+8x+3x+12没有公因式可以提出.但是如果我们把前两项组合(第1,2项),后两项组合(第3,4项),则每组都有最大公因式.
在这个例子里,第一组的最大公因式为2x,第二组的最大公因式为3.我们可以把这两个公因数分别提出,并得到以下式子:
2x(x+4)+3(x+4)
注意到把两组的最大公因数提出以后,我们发现了另一个最大公因数x+4.我们可以运用分配律把这个最大公因式提出来.
最后我们得到答案的形式为两项式的乘积,所以我们成功的分解公因式了.我们可以倒推(用整式的乘法)来验证我们的答案,把乘除来的答案和题目中的多项式进行比较.

例子 2: 因式分解 3x2+6x+4x+8

让我们用另一个例子来总结分组分解的方法.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)把单项式分成组=3x(x+2)+4(x+2)提取每组最大的公因式=3x(x+2)+4(x+2)找出公因式=(x+2)(3x+4)提取公因式x+2
因式分解后的形式为 (x+2)(3x+4).

看看你的知识掌握地如何

1) 因式分解 9x2+6x+12x+8.
选出正确答案:

2) 因式分解 5x2+10x+2x+4.

3) 因式分解 8x2+6x+4x+3.

例子 3: 因式分解3x26x4x+8

在运用分组分解的方法分解带负数系数的多项式时,我们要格外谨慎.
例子:我们可以用以下步骤来因式分解 3x26x4x+8.
0=3x26x4x+8(1)=(3x26x)+(4x+8)把单项式分组(2)=3x(x2)+(4)(x2)提取每组最大公因式(3)=3x(x2)4(x2)化简(4)=3x(x2)4(x2)找出公因式(5)=(x2)(3x4)提取公因式 x2
最后,我们求出多项式的分解形式为(x2)(3x4).我们可以用整式的乘法来验证我们的答案.
上面的几个步骤可能和你在第一个示例中看到的不同,所以你可能会心生疑问.
这个在分组之间的 "+" 号是从哪里来的?
在第 (1)步里, "+" 号被加在了(3x26x)(4x+8)之间. 这是因为 (4x) 是负数,而这项的符号必须包括在分组中.
把负号从第二组中剔除是很容易出错的一步.比如,很多同学会把 3x26x4x+8 错写成 (3x26x)(4x+8).这个错误的分组可以被化简为 3x26x4x8,这样就和题目中给出的多项式不符了.
为什么提出4 而不是 4?
在第 (2)步, 我们提取 4 从而找出组与组之间的最大公因式(x2).假设我们提取了 正值的 4, 我们就没有办法找到以上最大公因式:
(3x26x)+(4x+8)=3x(x2)+4(x+2)
当多项式的第一项为负数时,我们常常需要提取一个负值的公因式.

看看你的知识掌握地如何

4) 因式分解 2x23x4x+6.
选出正确答案:

5) 因式分解3x2+3x10x10.

6) 因式分解 3x2+6xx2.

挑战问题

7*) 因式分解 2x3+10x2+3x+15.

我们什么时候可以用分组分解法?

当分组之间存在公因式时, 我们可以用分组分解的方法对多项式进行因式分解.
比如,我们可以用分组分解的方法来因式分解 3x2+9x+2x+6,因为它可以被写成:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)
但是我们不可以用分组分解的方法来因式分解 2x2+3x+4x+12 因为提取每组的最大公因式以后我们找不到分组之间的公因式.
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)

用分组分解来因式分解三项式

我们也可以用分组分解来因式分解三项式,比如 2x2+7x+3.我们可以把这个三项式重新写成以下形式:
2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3
然后我们可以用分组分解把 2x2+1x+6x+3 分解为 (x+3)(2x+1).
如果你想学习更多这种运用分组来因式分解三项式的方法,可以进行下一个课时的学习. 下一个课时.

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