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主要内容
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二次表达式分解策略(第二部分)

视频字幕

-[导师] 上个视频, 我们做了3个例题 实际上复习了一些提取的方法 同时了解什么时候我们可以使用这些方法 第一个例子里面 步骤只是识别出公共因子 一旦我们把它提取出来,就解答结束了 在第二个例子里面,有一个公共因子,4 然后,做完之后,我们使用了,你可以说, 我们最基本的提取方法 或者说,我们最基本的提取方法之一 也就是,两个数字之和 是一次项前面的系数, 它们的积,是等于常数项 我们可以分解表达式 然后,在第三个例子中,我们再次 由提取公共值开始 在该例子中,是3 我们可以用在第二个视频中同样的方法来处理 或者,可以马上识别出 这是一个完全平方多项式 但是,任何一种方式,我们都可以分解表达式 我们继续下去,来看看是否可以处理其他类型的 多项式,来运用其他方法 比如说,我们的表达式是 7x平方减去63 像我们常常做的,暂停一下视频 看是否可以提取出来 我专门设计了这些题目, 你可以检查是否在所有项中有公共因子 这里,所有项都可以被7除 如果你提取出来7, 你得到7乘以x平方减去9 你可能会马上发现,这是 平方数之差 你有x平方减去,这个 是3的平方 减去3的平方 如果这种平方差的项或者说它的提取办法对你来说 是完全陌生的,我鼓励你 看一下关于分解平方差多项式的视频 或者搜索一下可汗学院的平方差的内容 但是你会看到 当你有像这样的一个平方差多项式的时候 它可以被分解为7,这个7在前面 然后这个这里的部分,有不同的颜色 这里的部分可以被写成 x加上3乘以x减去3 这是x平方减去3的平方 现在,考虑一下 这个实际上和以前视频中看到的方法 不是不同的方法没有什么不同 如果你聚焦在x平方减去9 你可以将它视为x平方减去0x减去9 在这个情况下,你会说,好, 哪两个数字它们的积是-9,和是0? 如果我需要得到的积是-9 这意味着它们必须是不同的符号 一个正号一个负号,否则 如果是同样符号,你这里会得到正数 所以它们是不同的符号 9只有3个因数 1 你可以有1和9 只有两个组合 或者是1和9,或者是3和3 如果是负1和负9 加起来不会是0 但是如果一个3是负的 那么加起来就是0了 所以,两个数是 负3和3 所以,回事x减去3乘以x加上3 再次,我将注意力集中在 括号里面的部分 如果是要处理同样的表达式的话, 你可以把这个7拿到前面来 但是如果你意识到这是一个平方差 就会做的快一点 我们再做个例子 题目说2x平方家7x加3 一般来说,当二次项前面的系数 不是1的时候 我会试着把它看成是这里有一个公共因子 但是7不能被2整除,也不能被3整除 所以我不能用以前视频 的那个方法, 也不能用现在的这种方法 就是找到前面的因子是1 如果你遇到这种情况 就说明,应该用分组提取的方法 通过分组来提取 某种意义上,我们刚才所做的 是分组提取的特殊情况 分组提取,对 我们是否能找到两个数字,加起来得到这个系数 a加上b等于7 a乘以b,需要等于3乘以这个, 而不是等于3 3乘以开头的这个系数 x平方项的系数 它得等于3乘以2 如果想一下,我们总是在这么做 其他的例子里面 前面的系数是1 当你把常数项乘以1 也就是,a乘以b需要 等于那个常数项 如果你想用更通用的说法, 应该是a乘以b应该等于常数项 乘以多项式前面的领头的系数 在分组分解法的介绍中 我们介绍了为什么这样可以奏效 你不能把它当成是魔术 这个是有数学上的原因的 但是一旦你接受了这个 应用这个方法就很有用 所以,你可以想出两个数字,加起来得到7 乘积是6? 它们必须是同样符号的 因为乘积是正的 它们必须是正数,因为 它们是同样符号的,并且加起来是正数 它们两个都得是正数 我来看看 1和6似乎是可以的 1加上6得到7 1乘以6是6 在分组分解法中,我们把表达式重新写一下, 把a和b分开 我们可以重写为2x平方 加上6x,加上我可以写1x 实际上,我们这么做 加上1x加上3 你可以看到,7x,不同颜色 7x被分解为6x和1x 这么做是为了看看 这里的一次项可以如何分解 但是,这个方法有用的地方在于 现在,我们可以把分配率反过来用两次 所以,对于这两项 我换个新颜色 这前面两项,你看到了公共因子 2x平方和5x,它们都可以被2x除 所以,我们把2x从这前面两项中提取出来 这么做了以后,2x平方除以2x 剩下的是x 6x除以2x,得到3 然后你可以加上 这里,这是一个特殊情况 x加上3,x和3之间没有公共因子 所以你就重写一下,x加3 当我加上括号 和没加上括号其实一样 你可以看到另外的东西 我可以组合,或者我可以提取出来,这个x加3 这么做了会如何? 我得到了一个x加3 然后这项会剩下来 如果提取出来x加3 剩下会是2x 2x 然后,这项,如果我提取出来x加3 我就剩下了一个1 加1 我用同样颜色来做 同样颜色 2x加1 我们就做完了 所以,如同我说过的,这些都是不同的方法, 某种意义上,分组分解法 被认为是最难的 但是我会说,括号里面比较难,因为 我们所做的,只是一个变量 实际上,是分组分解法的一个特殊例子 如你所看到的,这种方法与 两个数相加得到中间的这个系数 或者说是当写成标准形式时一次项前面的系数, 它们的积等于常数项和前面的 那个系数之积 如果这么做,你把它分解, 不停地把项提取出来,就可以解决 这个,在某种程度上,比较不明显 因为你必须发现这个x加3 隐含了一个系数1 1乘以x加3,也就是x加3 然后你可以把x加3从这些项 中都提取出来,然后,当你做完这步 你会剩下一个2x加1 但是所有这些,如果 你娴熟运用这样的方法 就应该很容易求解 坦白说,如果所有这些都不行 你可能已经很熟悉二次方程式了 或者你很快就要学习了 如果这些方法都不行 那么就是二次方程式有效的时候了