主要内容
因式与整除性简介
了解多项式作为其他多项式的因式或被它们整除的含义。
学习这节课之前我们需要了解什么
单项式 是常量和 的非负整数幂的乘积, 如 . 多项式 是由单项式的总和组成的表达式, 如 .
在这节课中我们将会学到什么
在本课中, 我们将探讨多项式中的因子与可除性的关系, 并学习如何确定一个多项式是否是另一个多项式的因子.
整数中的因子和可除性
通常,两个整数相乘获得的数字的因子 就是那两个整数.
例如,, 因此 和 是 的因子 .
如果除法的结果为整数, 则一个数字被另一个数字整除.
例如,, , 因此 可以被 和 整除. 然而, , 因此 不能被 整除.
注意因子之间的相互关系和整除性:
因为 (意思是 是 的因数),我们知道 (也就是 可以被 整除)。
反过来, 因为 (这意味着 可被 整除), 因此 (这意味着 是 的一个因子).
通常以下结论恒真: 如果 是 的一个因子, 则 可由 整除, 反之亦然.
多项式中的因子和整除性
这个知识点也可以应用于多项式.
当两个或以上的多项式相乘,我们把这些多项式叫做它们乘积的因子 .
例如,我们知道. 这意味着 和 是 .
另外,如果一个多项式和另一个多项式的商也是一个多项式,那么前面的这个多项式是一个可分多项式,它可以被整除.
例如,因为以及 , 因此 可以被 和 整除. 然而,因为 , 因此 is 不能被 整除.
整数的因子和可整除性也可以用在这里:
通常,如果 , , 和 是多项式,且满足 ,那么我们可以得出结论:
和 是 的因子. 可以被 和 整除.
看看你对知识掌握得如何
确定因子和可整除性
例1: 能否被 整除?
为了回答这个问题, 我们可以简化 . 如果结果为单项式, 则 可被 整除. 如果结果不是, 则 不能被 整除.
因为结果是单项式,所以 可以被 整除.(这也意味着 是 的一个因子.)
例2: 是 的因子么?
假如 是 的一个因子, 那么 可以被 整除. 因此,让我们简化 .
我们注意到 不 是一个单项式 因为它是一个商而不是乘积. 因此我们得出结论 不是 的一个因子.
摘要
通常, 如果要确定一个单项式 能否被另一个单项式 整除, 或者换种说法 是不是 的一个因式, 我们可以简化 .
如果简化后的表达式是一个多项式, 那么 可以被 整除, 是 的一个因式.
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挑战题
为什么我们对分解多项式感兴趣?
正如整数分解在很多场合都有用,多项式分解也是如此.
具体来说,多项式分解在求解二次方程以及简化有理式时非常有用.
如果您想看相关信息, 请查看以下文章:
下一步是什么?
因式分解的下一步是学习如何分解单项式.您可以在我们的下篇课文中学到.