因式与整除性简介 (文章) | 因式分解简介

学习这节课之前我们需要了解什么

单项式 是常量和

x

的非负整数幂的乘积, 如

3 x^{2}

. 多项式 是由单项式的总和组成的表达式, 如

3 x^{2} + 6 x - 1

在这节课中我们将会学到什么

在本课中, 我们将探讨多项式中的因子与可除性的关系, 并学习如何确定一个多项式是否是另一个多项式的因子.

整数中的因子和可除性

通常，两个整数相乘获得的数字的因子就是那两个整数.

例如, $14 = 2 \cdot 7$ ‍, 因此 $2$ ‍和 $7$ ‍ 是 $14$ ‍的因子 .

如果除法的结果为整数, 则一个数字被另一个数字整除.

例如, $\frac{15}{3} = 5$ ‍ ， $\frac{15}{5} = 3$ ‍, 因此 $15$ ‍ 可以被 $3$ ‍ 和 $5$ ‍整除. 然而, $\frac{9}{4} = 2.25$ ‍, 因此 $9$ ‍ 不能被 $4$ ‍整除.

注意因子之间的相互关系和整除性:

因为

14 = 2 \cdot 7

（意思是

2

是

14

的因数），我们知道

\frac{14}{2} = 7

(也就是

14

可以被

2

整除)。

反过来, 因为

\frac{15}{3} = 5

(这意味着

15

可被

3

整除), 因此

15 = 3 \cdot 5

(这意味着

3

是

15

的一个因子).

通常以下结论恒真: 如果

a

是

b

的一个因子, 则

b

可由

a

整除, 反之亦然.

多项式中的因子和整除性

这个知识点也可以应用于多项式.

当两个或以上的多项式相乘，我们把这些多项式叫做它们乘积的因子 .

例如，我们知道 $2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x$ ‍. 这意味着 $2 x$ ‍ 和 $x + 3$ ‍ 是 $2 x^{2} + 6 x 的因子$ ‍.

另外，如果一个多项式和另一个多项式的商也是一个多项式，那么前面的这个多项式是一个可分多项式，它可以被整除.

例如，因为 $\frac{6 x^{2}}{,} : 3 x = 2 x$ ‍ 以及 $\frac{6 x^{2}}{2 x} = 3 x$ ‍, 因此 $6 x^{2}$ ‍ 可以被 $3 x$ ‍ 和 $2 x$ ‍整除. 然而，因为 $\frac{4 x}{2 x^{2}} = \frac{2}{x}$ ‍, 因此 $4 x$ ‍ is 不能被 $2 x^{2}$ ‍整除.

整数的因子和可整除性也可以用在这里：

通常，如果

p

q

, 和

r

是多项式，且满足

p = q \cdot r

，那么我们可以得出结论：

$q$ ‍ 和 $r$ ‍ 是 $p$ ‍的因子.
$p$ ‍ 可以被 $q$ ‍ 和 $r$ ‍整除.

看看你对知识掌握得如何

1) 完成以下表达 $3 x (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x$ ‍的关系的句子.

x + 2

3 x^{2} + 6 x

3 x^{2} + 6 x

x + 2

[我需要帮助！]

2) 教师在黑板上写下以下乘积:

(3 x^{2}) (4 x) = 12 x^{3}

小明得出结论,

3 x^{2}

是

12 x^{3}

的一个因子.

小朱得出结论：

12 x^{3}

可被

4 x

整除.

谁是正确的？

[我需要帮助！]

确定因子和可整除性

例1: $24 x^{4}$ ‍ 能否被 $8 x^{3}$ ‍整除?

为了回答这个问题, 我们可以简化

\frac{24 x^{4}}{8 x^{3}}

. 如果结果为单项式, 则

24 x^{4}

可被

8 x^{3}

整除. 如果结果不是, 则

24 x^{4}

不能被

8 x^{3}

整除.

$\begin{aligned} \frac{24 x^{4}}{8 x^{3}} & = \frac{24}{8} \cdot \frac{x^{4}}{x^{3}} \\ = 3 \cdot x^{1} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 3 x \end{aligned}$ ‍

因为结果是单项式，所以

24 x^{4}

可以被

8 x^{3}

整除.(这也意味着

8 x^{3}

是

24 x^{4}

的一个因子.)

例2: $4 x^{6}$ ‍ 是 $32 x^{3}$ ‍的因子么?

假如

4 x^{6}

是

32 x^{3}

的一个因子, 那么

32 x^{3}

可以被

4 x^{6}

整除. 因此，让我们简化

\frac{32 x^{3}}{4 x^{6}}

$\begin{aligned} \frac{32 x^{3}}{4 x^{6}} & = \frac{32}{4} \cdot \frac{x^{3}}{x^{6}} \\ = 8 \cdot x^{- 3} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 8 \cdot \frac{1}{x^{3}} & a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} \\ = \frac{8}{x^{3}} \end{aligned}$ ‍

我们注意到

\frac{8}{x^{3}}

不是一个单项式因为它是一个商而不是乘积. 因此我们得出结论

4 x^{6}

不是

32 x^{3}

的一个因子.

摘要

通常, 如果要确定一个单项式

p

能否被另一个单项式

q

整除, 或者换种说法

q

是不是

p

的一个因式, 我们可以简化

\frac{p (x)}{q (x)}

如果简化后的表达式是一个多项式, 那么

p

可以被

q

整除，

q

是

p

的一个因式.

看看你的知识掌握地如何

3) $30 x^{4}$ ‍ 能否被 $2 x^{2}$ ‍整除?

[我需要帮助！]

4) $12 x^{2}$ ‍是 $6 x$ ‍的一个因式么?

[我需要帮助！]

挑战题

5*) 下面哪些单项式是 $15 x^{2} y^{6}$ ‍ 的因式?

	因数	非因式
$3 x^{2} y^{5}$ ‍
$5 x$ ‍
$10 x^{4} y^{3}$ ‍

[我需要帮助！]

6*) 一个长方形，它的宽是

x + 1

个单位，它的长是

x + 4

个单位，它的面积是

x^{2} + 5 x + 4

平方个单位.

下面哪些是 $x^{2} + 5 x + 4$ ‍的因式?

[我需要帮助！]

为什么我们对分解多项式感兴趣？

正如整数分解在很多场合都有用，多项式分解也是如此.

具体来说，多项式分解在求解二次方程以及简化有理式时非常有用.

如果您想看相关信息, 请查看以下文章:

下一步是什么？

因式分解的下一步是学习如何分解单项式.您可以在我们的下篇课文中学到.

代数1

课程: 代数1 > 单元 15

因式与整除性简介

学习这节课之前我们需要了解什么

在这节课中我们将会学到什么

整数中的因子和可除性

多项式中的因子和整除性

看看你对知识掌握得如何

确定因子和可整除性

例1: $24 x^{4}$ ‍ 能否被 $8 x^{3}$ ‍整除?

例2: $4 x^{6}$ ‍ 是 $32 x^{3}$ ‍的因子么?

摘要

看看你的知识掌握地如何

挑战题

为什么我们对分解多项式感兴趣？

下一步是什么？

想加入讨论吗？

代数1

课程: 代数1 > 单元 15

学习这节课之前我们需要了解什么

在这节课中我们将会学到什么

整数中的因子和可除性

多项式中的因子和整除性

看看你对知识掌握得如何

确定因子和可整除性

例1: 24x4‍ 能否被 8x3‍ 整除?

例2: 4x6‍ 是 32x3‍ 的因子么?

摘要

看看你的知识掌握地如何

挑战题

为什么我们对分解多项式感兴趣？

下一步是什么？

想加入讨论吗？

例1: $24 x^{4}$ ‍ 能否被 $8 x^{3}$ ‍整除?

例2: $4 x^{6}$ ‍ 是 $32 x^{3}$ ‍的因子么?