主要内容
因式与整除性简介
了解多项式作为其他多项式的因式或被它们整除的含义。
学习这节课之前我们需要了解什么
单项式 是常量和 x的非负整数幂的乘积, 如 3, x, squared. 多项式 是由单项式的总和组成的表达式, 如 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.
在这节课中我们将会学到什么
在本课中, 我们将探讨多项式中的因子与可除性的关系, 并学习如何确定一个多项式是否是另一个多项式的因子.
整数中的因子和可除性
通常,两个整数相乘获得的数字的因子 就是那两个整数.
例如, 14, equals, 2, dot, 7, 因此 2和 7 是 14的因子 .
如果除法的结果为整数, 则一个数字被另一个数字整除.
例如, start fraction, 15, divided by, 3, end fraction, equals, 5 , start fraction, 15, divided by, 5, end fraction, equals, 3, 因此 15 可以被 3 和 5整除. 然而, start fraction, 9, divided by, 4, end fraction, equals, 2, point, 25, 因此 9 不能被 4整除.
注意因子之间的相互关系和整除性:
因为start color #e07d10, 14, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 7(意思是2是14的因数),我们知道start fraction, start color #e07d10, 14, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 2, end color #11accd, end fraction, equals, 7 (也就是14可以被2整除)。
反过来, 因为 start fraction, start color #e07d10, 15, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, equals, 5 (这意味着 15 可被3整除), 因此 start color #e07d10, 15, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, 5 (这意味着 3 是 15的一个因子).
通常以下结论恒真: 如果 a 是 b的一个因子, 则 b 可由 a整除, 反之亦然.
多项式中的因子和整除性
这个知识点也可以应用于多项式.
当两个或以上的多项式相乘,我们把这些多项式叫做它们乘积的因子 .
例如,我们知道 2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, 6, x. 这意味着2, x 和 x, plus, 3 是 2, x, squared, plus, 6, x, 的, 因, 子.
另外,如果一个多项式和另一个多项式的商也是一个多项式,那么前面的这个多项式是一个可分多项式,它可以被整除.
例如,因为 start fraction, 6, x, squared, divided by, comma, end fraction, colon, 3, x, equals, 2, x 以及 start fraction, 6, x, squared, divided by, 2, x, end fraction, equals, 3, x, 因此 6, x, squared 可以被3, x 和 2, x整除. 然而,因为 start fraction, 4, x, divided by, 2, x, squared, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, x, end fraction, 因此 4, x is 不能被 2, x, squared整除.
整数的因子和可整除性也可以用在这里:
通常,如果 p, q, 和 r 是多项式,且满足 p, equals, q, dot, r,那么我们可以得出结论:
- q 和 r 是 p的因子.
- p 可以被 q 和 r整除.
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确定因子和可整除性
例1: 24, x, start superscript, 4, end superscript 能否被 8, x, cubed整除?
为了回答这个问题, 我们可以简化 start fraction, 24, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 8, x, cubed, end fraction. 如果结果为单项式, 则 24, x, start superscript, 4, end superscript 可被 8, x, cubed 整除. 如果结果不是, 则 24, x, start superscript, 4, end superscript 不能被8, x, cubed整除.
因为结果是单项式,所以24, x, start superscript, 4, end superscript 可以被8, x, cubed整除.(这也意味着 8, x, cubed 是24, x, start superscript, 4, end superscript的一个因子.)
例2: 4, x, start superscript, 6, end superscript 是 32, x, cubed的因子么?
假如 4, x, start superscript, 6, end superscript 是 32, x, cubed的一个因子, 那么 32, x, cubed 可以被 4, x, start superscript, 6, end superscript整除. 因此,让我们简化 start fraction, 32, x, cubed, divided by, 4, x, start superscript, 6, end superscript, end fraction.
我们注意到 start fraction, 8, divided by, x, cubed, end fraction 不 是一个单项式 因为它是一个商而不是乘积. 因此我们得出结论4, x, start superscript, 6, end superscript 不是 32, x, cubed的一个因子.
摘要
通常, 如果要确定一个单项式 p 能否被另一个单项式 q整除, 或者换种说法 q 是不是 p的一个因式, 我们可以简化 start fraction, p, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, q, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction.
如果简化后的表达式是一个多项式, 那么 p 可以被 q整除, q 是p的一个因式.
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挑战题
为什么我们对分解多项式感兴趣?
正如整数分解在很多场合都有用,多项式分解也是如此.
具体来说,多项式分解在求解二次方程以及简化有理式时非常有用.
如果您想看相关信息, 请查看以下文章:
下一步是什么?
因式分解的下一步是学习如何分解单项式.您可以在我们的下篇课文中学到.