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代数1

课程: 代数1 > 单元 15

课程 1: 因式分解简介
数学
代数1
因式分解
因式分解简介
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因式与整除性简介

Google课堂
了解多项式作为其他多项式的因式或被它们整除的含义。

学习这节课之前我们需要了解什么

单项式 是常量和 x的非负整数幂的乘积, 如 3, x, squared. 多项式 是由单项式的总和组成的表达式, 如 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.

在这节课中我们将会学到什么

在本课中, 我们将探讨多项式中的因子与可除性的关系, 并学习如何确定一个多项式是否是另一个多项式的因子.

整数中的因子和可除性

通常，两个整数相乘获得的数字的因子 就是那两个整数.
例如, 14, equals, 2, dot, 7, 因此 2和 7 是 14的因子 .
如果除法的结果为整数, 则一个数字被另一个数字整除.
例如, start fraction, 15, divided by, 3, end fraction, equals, 5 ， start fraction, 15, divided by, 5, end fraction, equals, 3, 因此 15 可以被 3 和 5整除. 然而, start fraction, 9, divided by, 4, end fraction, equals, 2, point, 25, 因此 9 不能被 4整除.
注意因子之间的相互关系和整除性:
因为start color #e07d10, 14, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 7（意思是2是14的因数），我们知道start fraction, start color #e07d10, 14, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 2, end color #11accd, end fraction, equals, 7 (也就是14可以被2整除)。
反过来, 因为 start fraction, start color #e07d10, 15, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, equals, 5 (这意味着 15 可被3整除), 因此 start color #e07d10, 15, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, 5 (这意味着 3 是 15的一个因子).
通常以下结论恒真: 如果 a 是 b的一个因子, 则 b 可由 a整除, 反之亦然.

多项式中的因子和整除性

这个知识点也可以应用于多项式.
当两个或以上的多项式相乘，我们把这些多项式叫做它们乘积的因子 .
例如，我们知道 2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, 6, x. 这意味着2, x 和 x, plus, 3 是 2, x, squared, plus, 6, x, 的, 因, 子.
另外，如果一个多项式和另一个多项式的商也是一个多项式，那么前面的这个多项式是一个可分多项式，它可以被整除.
例如，因为 start fraction, 6, x, squared, divided by, comma, end fraction, colon, 3, x, equals, 2, x 以及 start fraction, 6, x, squared, divided by, 2, x, end fraction, equals, 3, x, 因此 6, x, squared 可以被3, x 和 2, x整除. 然而，因为 start fraction, 4, x, divided by, 2, x, squared, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, x, end fraction, 因此 4, x is 不能被 2, x, squared整除.
整数的因子和可整除性也可以用在这里：
通常，如果 p, q, 和 r 是多项式，且满足 p, equals, q, dot, r，那么我们可以得出结论：
  • q 和 r 是 p的因子.
  • p 可以被 q 和 r整除.

看看你对知识掌握得如何

1) 完成以下表达3, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x的关系的句子.
x, plus, 2
3, x, squared, plus, 6, x, 3, x, squared, plus, 6, x
x, plus, 2.

2) 教师在黑板上写下以下乘积:
left parenthesis, 3, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, equals, 12, x, cubed
小明得出结论, 3, x, squared 是 12, x, cubed的一个因子.
小朱得出结论：12, x, cubed 可被4, x整除.
谁是正确的？
选出正确答案：

确定因子和可整除性

例1: 24, x, start superscript, 4, end superscript 能否被 8, x, cubed整除?

为了回答这个问题, 我们可以简化 start fraction, 24, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 8, x, cubed, end fraction. 如果结果为单项式, 则 24, x, start superscript, 4, end superscript 可被 8, x, cubed 整除. 如果结果不是, 则 24, x, start superscript, 4, end superscript 不能被8, x, cubed整除.
24x48x3=248⋅x4x3=3⋅x1aman=am−n=3x\begin{aligned}\dfrac{24x^4}{8x^3}&=\dfrac{24}{8}\cdot\dfrac{x^4}{x^3}\\ \\ &=3\cdot x^1&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=3x \end{aligned}
因为结果是单项式，所以24, x, start superscript, 4, end superscript 可以被8, x, cubed整除.(这也意味着 8, x, cubed 是24, x, start superscript, 4, end superscript的一个因子.)

例2: 4, x, start superscript, 6, end superscript 是 32, x, cubed的因子么?

假如 4, x, start superscript, 6, end superscript 是 32, x, cubed的一个因子, 那么 32, x, cubed 可以被 4, x, start superscript, 6, end superscript整除. 因此，让我们简化 start fraction, 32, x, cubed, divided by, 4, x, start superscript, 6, end superscript, end fraction.
32x34x6=324⋅x3x6=8⋅x−3aman=am−n=8⋅1x3a−m=1am=8x3\begin{aligned}\dfrac{32x^3}{4x^6}&=\dfrac{32}{4}\cdot\dfrac{x^3}{x^6}\\ \\ &=8\cdot x^{-3}&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=8\cdot \dfrac{1}{x^3}&&\small{\gray{a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}}}\\ \\ &=\dfrac{8}{x^3} \end{aligned}
我们注意到 start fraction, 8, divided by, x, cubed, end fraction 不 是一个单项式 因为它是一个商而不是乘积. 因此我们得出结论4, x, start superscript, 6, end superscript 不是 32, x, cubed的一个因子.

摘要

通常, 如果要确定一个单项式 p 能否被另一个单项式 q整除, 或者换种说法 q 是不是 p的一个因式, 我们可以简化 start fraction, p, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, q, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction.
如果简化后的表达式是一个多项式, 那么 p 可以被 q整除， q 是p的一个因式.

看看你的知识掌握地如何

3) 30, x, start superscript, 4, end superscript 能否被 2, x, squared整除?
选出正确答案：

4) 12, x, squared是 6, x的一个因式么?
选出正确答案：

挑战题

5*) 下面哪些单项式是 15, x, squared, y, start superscript, 6, end superscript 的因式?
因数
非因式
3, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript
5, x
10, x, start superscript, 4, end superscript, y, cubed

6*) 一个长方形，它的宽是 x, plus, 1 个单位， 它的长是 x, plus, 4 个单位，它的面积是x, squared, plus, 5, x, plus, 4 平方个单位.
下面哪些是x, squared, plus, 5, x, plus, 4的因式?
选择所有正确的答案:

为什么我们对分解多项式感兴趣？

正如整数分解在很多场合都有用，多项式分解也是如此.
具体来说，多项式分解在求解二次方程以及简化有理式时非常有用.
如果您想看相关信息, 请查看以下文章:

下一步是什么？

因式分解的下一步是学习如何分解单项式.您可以在我们的下篇课文中学到.

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