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主要内容

因式与整除性简介

了解多项式作为其他多项式的因式或被它们整除的含义。

学习这节课之前我们需要了解什么

单项式 是常量和 x的非负整数幂的乘积, 如 3x2. 多项式 是由单项式的总和组成的表达式, 如 3x2+6x1.

在这节课中我们将会学到什么

在本课中, 我们将探讨多项式中的因子与可除性的关系, 并学习如何确定一个多项式是否是另一个多项式的因子.

整数中的因子和可除性

通常,两个整数相乘获得的数字的因子 就是那两个整数.
例如, 14=27, 因此 2714因子 .
如果除法的结果为整数, 则一个数字被另一个数字整除.
例如, 153=5155=3, 因此 15 可以被 35整除. 然而, 94=2.25, 因此 9 能被 4整除.
注意因子之间的相互关系和整除性:
因为14=27(意思是214的因数),我们知道142=7 (也就是14可以被2整除)。
反过来, 因为 153=5 (这意味着 15 可被3整除), 因此 15=35 (这意味着 315的一个因子).
通常以下结论恒真: 如果 ab的一个因子, 则 b 可由 a整除, 反之亦然.

多项式中的因子和整除性

这个知识点也可以应用于多项式.
当两个或以上的多项式相乘,我们把这些多项式叫做它们乘积的因子 .
例如,我们知道 2x(x+3)=2x2+6x. 这意味着2xx+32x2+6x.
另外,如果一个多项式和另一个多项式的商也是一个多项式,那么前面的这个多项式是一个可分多项式,它可以被整除.
例如,因为 6x2,:3x=2x 以及 6x22x=3x, 因此 6x2 可以被3x2x整除. 然而,因为 4x2x2=2x, 因此 4x is 不能被 2x2整除.
整数的因子和可整除性也可以用在这里:
通常,如果 p, q, 和 r 是多项式,且满足 p=qr,那么我们可以得出结论:
  • qrp的因子.
  • p 可以被 qr整除.

看看你对知识掌握得如何

1) 完成以下表达3x(x+2)=3x2+6x的关系的句子.
x+2
3x2+6x, 3x2+6x
x+2.

2) 教师在黑板上写下以下乘积:
(3x2)(4x)=12x3
小明得出结论, 3x212x3的一个因子.
小朱得出结论:12x3 可被4x整除.
谁是正确的?
选出正确答案:

确定因子和可整除性

例1: 24x4 能否被 8x3整除?

为了回答这个问题, 我们可以简化 24x48x3. 如果结果为单项式, 则 24x4 可被 8x3 整除. 如果结果不是, 则 24x4 不能被8x3整除.
24x48x3=248x4x3=3x1aman=amn=3x
因为结果是单项式,所以24x4 可以被8x3整除.(这也意味着 8x324x4的一个因子.)

例2: 4x632x3的因子么?

假如 4x632x3的一个因子, 那么 32x3 可以被 4x6整除. 因此,让我们简化 32x34x6.
32x34x6=324x3x6=8x3aman=amn=81x3am=1am=8x3
我们注意到 8x3 是一个单项式 因为它是一个商而不是乘积. 因此我们得出结论4x6 不是 32x3的一个因子.

摘要

通常, 如果要确定一个单项式 p 能否被另一个单项式 q整除, 或者换种说法 q 是不是 p的一个因式, 我们可以简化 p(x)q(x).
如果简化后的表达式是一个多项式, 那么 p 可以被 q整除, qp的一个因式.

看看你的知识掌握地如何

3) 30x4 能否被 2x2整除?
选出正确答案:

4) 12x26x的一个因式么?
选出正确答案:

挑战题

5*) 下面哪些单项式是 15x2y6 的因式?
因数
非因式
3x2y5
5x
10x4y3

6*) 一个长方形,它的宽是 x+1 个单位, 它的长是 x+4 个单位,它的面积是x2+5x+4 平方个单位.
下面哪些是x2+5x+4的因式?
选择所有正确的答案:

为什么我们对分解多项式感兴趣?

正如整数分解在很多场合都有用,多项式分解也是如此.
具体来说,多项式分解在求解二次方程以及简化有理式时非常有用.
如果您想看相关信息, 请查看以下文章:

下一步是什么?

因式分解的下一步是学习如何分解单项式.您可以在我们的下篇课文中学到.

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