发现二次函数的特征

现在我这里有三个不同的函数 我知道它们都叫f 但是我们先假设它们是不同的函数 对于每个函数，我要做三件事 我想知道函数的零点 零点就是令函数 等于0的输入值 这里是使得f(t)等于0的t值 这边是令函数 等于0的x值 所以我想求得零点 然后我还想知道顶点的坐标 最后，我想知道 函数对称轴的表达式 对称轴 再详细一点的话 我说的是垂直对称轴，其实也是 这三个函数的唯一对称轴 好了，现在暂停视频看看你能不能求得 零点、顶点和对称轴 现在我就当你们已经这么做了 然后我要开始做这个题了 假如在某个地方你有灵感了 那再暂停视频然后自己做 学这些东西的最好办法就是自己做 现在我们来找零点 那么要找零点的话，我们 令(t-5)的平方减9等于0 那就是说，什么t 可以满足(t-5)平方减9等于0？ 我们可以先在两边加上9 如果我们两边加完9了之后 左边就是(t-5)平方了 右边就是9 假如(t-5)平方等于9，这表明 t-5可以等于 9的正平方根 或者t-5可以等于 9的负平方根 要解出t的话，我们可以在两边加上5 所以t等于8或者t等于…… 假如我们在这里两边加上5 t等于2 就这样，我们找到了这个函数 的零点因为假如t等于8或者2 函数会等于0 f(8)等于0并且f(2)等于0 现在我们找顶点的坐标 顶点的坐标 所以顶点的x坐标 不好意思，应该是顶点的t坐标 因为这里的变量是t 顶点的t坐标会在 零点之间的中点 这个情况里，就是 抛物线与x轴 交点的正中间 是t轴，我老说错成x轴 这题是t轴 所以在8和2的正中间 就是它们的平均数 8加2除以2 就是10除以2，等于5 t坐标是5，5距离2相差3 距离8也相差3 那t等于5的时候，f(t)等于多少 f(5)等于多少？ 当t等于5的时候 (5-5)平方就是0 那f(5)就等于-9 这个形式的函数实际上被称为 顶点式，因为可以很容易看出顶点坐标 可以很容易发现 在这里，当这部分等于0的时候 我们会达到一个最低点 因为这部分的最小值只能是0 因为这个平方 它不可能是负数 然后当t等于5的时候它等于0 然后当这部分等于0时 f(5)就等于-9 所以我们得到了顶点 其实如果我们想画图的话 我们已经有很多信息了 所以假如我们想画图像的话 我来快速画一个 噢 非常快地画一下 这是我们的t轴，不是x轴 我得一直提醒自己 然后这个 叫做y轴吧 然后我们画y等于f(t) 我们知道顶点在位于 (5,-9) 所以这是t等于5 y等于-9 所以这个就是顶点 然后，我们知道零点 位于t等于8和t等于2 所以t等于8和t等于2 让我把这个画近一点 这是两个零点 8和2 就是这样，我们画出了f(t)的图像 或者我们可以画y等于f(t) 所以y=f(t)的图像看着大概是 让我再画一点——大概是这样 这是y=f(t)的图像 我之前说的最后一件事是对称轴 对称轴就是 经过顶点的垂直线 所以对称轴的表达式是 t=5 就是顶点的t坐标 定义了对称轴 现在我们做这边这两个 那零点是什么？ 假如你令这个等于0，或者说x+2 乘x+4等于0 这个情况会在x+2等于0 或者x+4等于0的情况下得到 我们在两边减去2 或者说x等于-2的时候发生，然后这边 从两边减去4，或者说当x等于-4的时候 如同我们之前所说，顶点的x坐标 位于这两个点的正中间 所以就是-2加-4 除以2，等于-6除以2 等于-3 -3 当x等于-3的时候，f(x)等于 我们来看看，等于-1 乘1，对吧？ -3加2等于-1，然后乘1 所以就等于-1 这就是答案了 然后对称轴就是 x=-3这条垂直线 同样，我们可以快速画出图像 我来画 这是y轴 所有东西都在负半轴上 我会画得稍微偏一点 这是x轴 然后我们的两个零点是x等于-2 和x等于-4 所以负1,2,3,4 我们的零点 在这里，-2 -2和-4 然后顶点在(-3,-1) (-3,-1) 确保我们能看见 这是-1 这是-2，这是-4 这样我们可以画出 y=f(x)的图像长什么样了 看着大概是这样 这是y=f(x) 我们再做一个 希望我们开始熟练了 这里，解x平方加6x加8 等于0，因式分解会很有帮助 所以，这可以写成 假如你有困难的话，我建议你 看多项式因式分解的视频 哪两个数的乘积是8 加起来是6？ 是4和2 4加2等于6，4乘2等于8 等于0 然后，这个跟这边蓝色的 一模一样 这些其实是同一个函数 写成了不同形式 所以答案也会跟我们这边看到的 是完全一样的，图像 也会跟这边看到的完全一样 所以同样的顶点，同样的对称轴，同样的零点 这些函数只是写成了不同形式