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主要内容

二次函数的形式与特征

二次函数的不同形式揭示了这些函数的不同特征。在这里,Sal 重写 f (x) = x²-5 x + 6 ,说明分解式下它的零点,以及在顶点式下它的顶点。 Sal Khan 创建

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这里有一个函数定义为x²- 5x + 6。 我想让大家思考的是 我们还可以把这个函数写成什么形式 如果我们想求出这个函数的0。 如果我们想算出这个函数与x轴的交点, 应该用什么形式表示呢? 另一种形式是 求它的最小值。 我们看到x²项的系数 是正的。 这是一条开口向上的抛物线。 但它的最小值是多少? 或者说, 这个抛物线的顶点是多少? 如果这个函数是这样的, 我们可以用这个函数的一种形式 来求出它与x轴的交点。 它在哪里与x轴相交? 我们可以用另一种形式 求出最小值点。 这个函数的这个点是什么? 我甚至不知道这个函数的图像是不是这样的。 所以我建议你暂停这个视频 试着把它转换成两种不同的形式。 我们来做一下。 为了求根,我能想到的 最简单的方法就是 试着因式分解这个 用来定义函数的二次表达式。 所以我们可以想, 我们想两个数它们的乘积是6和 和是负5。 因为它们的乘积是正的, 我们知道它们有相同的符号。 如果它们有相同的符号但是我们得到了一个负值, 这意味着它们都是负的。 因此,让我们看一下负2乘负3为正6。 负2加负3为负5。 因此我们可以重写f(x)。 所以让我这样写。 我们可以写成f(x)等于x 减去2乘以x减去3。 现在,这怎么帮助我们找到零? 那么,在什么情况下 右边的表达式等于0? 是这两个表达式的乘积。 如果其中任何一个等于0,0乘以0等于0。 0乘以任何数都等于0。 因此,如果x减2等于0或x减3等于0, 则整个东西都将为0。 这个方程式的两边都是2。 您得到x等于2或x等于3。 所以我猜这是该函数的两个零点。 你可以说。 我们可以 在绘制图形时考虑一下。 那么让我们尝试画图像。 这是x等于1。 这是x等于2。 这是x等于3。 这就是我们的x轴。 你可以说,这就是我们的y等于f(x)轴。 而且我们看到这里和这里都相交。 当x等于2时,f(x)等于0。 当x等于3时,f(x)等于0。 你可以将这些值中的任一个 替换为原始表达式。 而且你会看到它将达到0, 因为那是相同的。 那么顶点呢? 为了挑出顶点, 我们可以用什么形式写这个原始的东西呢? 好吧,我们已经 对补全平方有点熟悉了。 当用此表达式补全平方时, 这似乎是思考此函数的最小值的 一个很好的方法。 那么我们就在这里做。 我要重写它。 因此,我们得到f(x)等于x的平方减去5x。 我把加6写进去。 我给了自己一些空间, 因为我需要做的, 我想考虑做的是加和减去相同的值。 所以我要在这里加它,然后在那里减去它。 之所以可以这样做,是因为我刚刚加了0。 我没有更改右边的值。 但是我要这样做 以便我用洋红色颜色加下划线的这个部分 是一个完全平方。 我补全平方后, 已经做过多次了。 如果你需要复习的话, 我鼓励你去看这些视频。 但是基本的想法是, 如果我们在这里考虑这个系数, 这将是一个完全平方。 我们取负5。 取其中的1/2,即负5/2,然后求平方。 因此,我们可以将其写为加负 -5/2的平方是多少? 所以我可以这样写——负5/2平方。 如果我们对一个负数求平方, 那将是一个正数。 因此,它将与5/2平方相同。 5平方是25。 2平方是4。 所以这将是加25/4。 现在,同样的,如果我们希望这种等式成立, 那么我们要么必须在两边同时加相同的东西。 要么,如果我们只是在一边, 那么如果将其添加到这边, 则可以从另一边减去它。 而且,我们并没有改变那一边的总值。 所以我们加了25/4,然后减去了25/4。 那么,这部分是什么呢? 我用洋红色强调的部分 变成了什么? 我们这样做的 全部原因是, 它可以是x减去5/2平方。 我鼓励你进行验算。 我们将更详细地说明 为什么在此处取系数的1/2,然后对进行平方, 然后在此处相加然后减去,以及它为什么可行。 我们在补全平方的视频中做过这个。 但是这两个东西,你可以证明 它们是等价的。 这就是那一部分的内容。 现在我们只需要化简6减25/4。 6可以写成24/4。 24/4减25/4等于-1/4,就是这样。 我们重写了原来的函数 f(x)等于(x-5/2)²减1/4。 为什么这个形式很有趣呢? 一种思考方式的是这部分 总是非负的。 洋红色部分的最小值是0。 为什么呢? 因为这是平方。 如果你用这样的东西, 我们只是在做实数, 然后取平方, 所以你不会得到一个负数。 在最小值时,它将等于0。 然后它当然也可以是正的值。 如果我们想知道这个东西什么时候达到它的最小值, 当你取0的平方时, 它达到了它的最小值。 什么时候要取0的平方? 当x减5/2等于0时,你要取0的平方, 或者当x等于5/2时, 如果方程两边都加上5/2。 所以当x等于5/2时,这一项达到最小值。 那么当x等于5/2时,y或者f(x)等于多少? f(5/2),一样的,你可以用任何形式 来计算5/2。 但用这种形式很简单。 当x等于5/2时,这里这一项变成0。 0的平方,0。 你只剩下负1/4。 另一种思考方法是 我们的顶点在x等于5/2和y等于-1/4处。 所以x等于5/2。 也就是2又1/2。 所以x等于5/2。 y等于负1/4。 如果这是-1,1/4应该是这样的。 这就是顶点。 这就是点,让我说清楚点, 这是点(5/2,-1/4)。 很酷的是我们刚刚用这种形式 求出了最小点,在这种情况下 求出了顶点。 然后我们可以把根作为 另外两个点来画出 抛物线的草图。 所以有趣的是,或者我猜这个视频的要点是 我们可以把它改写成不同的形式 取决于我们想要 了解这个函数的什么。