举例：二次函数的形式和特征

-[讲师] 题目中给出了 函数m的三个等价形式 哪一种能更直观地体现出y轴截距？ 我们首先要提醒自己 如果我有一个函数 y=m(x) 题目中已经告诉我们这些都是等价形式 函数m有三种等价形式 也就是说我应该可以通过代数运算 把其中任意一个变形成另外任意一种形式 因此，如果我想要做出y=m(x)的图形 应该会得出类似这样的结果 我已经知道它是一个开口向下的抛物线 因为通过观察函数的外形 就能看出 二次项的系数是负值 因此这是一个开口向下的抛物线 这里画一个草图 如果要找的是y轴截距 我们就会考虑，这条抛物线在哪里与y轴相交呢？ 也就是说，当x=0时，y的值是多少？ 说到底，这道题问的是 我们可以多快找出m的零点数值 当x=0时，m(x)等于多少 我们多快可以找出零点的值 先看上面这个，令x=0 结果是-2×(-3)×(-9) 这并不难算出 但还是要做简单心算 第二个与此相似 令x=0，得到-6^2 也就是36×(-2) 等于-72 再要加上正18 算是可以算 但是还是有点麻烦 再看最后这个 这个也是函数的标准形式 如果令x=0，这一项就没有了 这一项也没有了，剩下的只有 m(0)=-54 因此，下面这个标准形式的函数 是最容易计算的 我们算出了与y轴相交的点坐标是(0,-54) 有一点需要注意 有时你会看到一种叫顶点式的函数形式 我们会看到它能最快让我们 识别出函数的顶点 你看到这里有一个加18 这个似乎有一个 -54 你可以这样想，当x=0时 或许我可以直接 像划掉那些项一样把这个也划掉 这里要非常谨慎 因为如果x=0 整个这部分并不等于0 当x=0时，像我刚才所说的 我们有-6^2 也就是36×(-2) 等于-72 因此m(0)肯定不是18 因此要非常谨慎 但我们看到了最佳选项是 这个标准形式 而不是顶点式或者因式分解后的形式 你可以想象一下，因式分解式 很容易帮我们找到零点 我们来试另一道例题 事实上这道题里我们有同样的=m(x) 但是要求的结果不一样 还是三种相同的形式 哪一种能最快体现出顶点 刚才我们说过，这种也叫顶点式 顶点式的价值就在于 你看到它就可以说 当这里等于0时 整个函数 就到了它的顶点 我是怎么知道的呢？ 你一旦对顶点式熟悉以后 这就会成为一种自然反应 但如果这是一个开口向下的抛物线 顶点即是它达到最大值的位置 就像你看到的那样 x-6^2将始终是非负值 你用这一部分乘以-2 永远都是非正值 要么是0，要么是负值 因此这里是一直要从18里面减去一个值的 如果你要找顶点 也就是最大值的点 那个x的值应该要让这部分等于0 因为对于任何其他x值来说 这部分都是负值 就要从18里面减去一个值 你检查一下就会看出 什么样的x值能让这部分等于0呢？ 如果x=6 6-6=0 0^2=0 0×2=0 因此m(6)=18 这就能帮助我们很快地找出 顶点就是当x=6时 y的值或者说m(6)的值 等于18 你也可以通过其他两种形式计算顶点 用标准形式可能是最难算的了 用标准形式来算，你可以先算平方 或者用其他计算方法 或者也可以进行因式分解 用因式分解式来算，可以找出零点 然后你知道顶点的x轴坐标 就是两个x轴交点的x轴坐标中点 然后就可以通过x轴坐标算出y值了 但是这个肯定还是最简单的 顶点的值是什么呢？ 它的坐标就是(6,18) 我们再做最后一道例题 这是一个不同的函数 函数f有三种等价形式 用哪一种可以最快找出 函数的零点或者根呢？ 再次强调 当我们说到零点或根的时候 这里是x轴 如果是一个这种形状的抛物线的话 函数的根或者零点就是 能够让函数值为零的x值 或者说是 它在x轴上的截距 因此题目问的是 哪一个形式更容易找出 使函数值为零的x值呢？ 这些都是等价的函数 你可以把这项个展开 都能得到和最后一个标准形式一样的函数 哪一个最容易帮我们找出零点值呢？ 我要说肯定是因式分解式 要么是令这一部分等于零 要么是令这一部分等于零 因为能使这部分为零的x值 或使这部分为零的x值 肯定能让整个表达式的值为零 你可以很快就判断出 如果x=-1 这就等于零 或者如果x=-11 这也等于零 这是非常快速找出零点的形式 这个就要难一些了 你得计算出3 x (X+ 6)^2 -75=0 通过代数运算 你最后也会得出同样的结果 所以我要把顶点式给排除了 这里，标准形式 第一步 是要进行因式分解 然后通过分解式我就可以找到零点 这个肯定是比 直接用分解式来找要麻烦的 因此因式分解式能够 最快帮助我们找到零点 这里要我们写出一个零点值 我可以写x=-1 或者x=-11