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主要内容

抛物线简介

二次函数图像都具有我们称之为“抛物线”的形状。所有抛物线都有共同的特点。例如,它们都依通过其顶点的直线而对称。这个短片涵盖了抛物线的这一要点及其他基本知识。

视频字幕

这个视频里,我们将会讨论 数学中最常见曲线中的一种 就是抛物线 抛物线听起来很玄幻 但是它描述的是相当简单的东西 我们先来看下为什么叫抛物线(英文parabola) 我看到过很多种解释 英文词根Para来自希腊语 类似于寓言(parable) 可以理解为有什么东西在旁边 像平行的之类的 Bola,这个词根是当我们讲 弹道(ballistics),扔东西的时候 这个时候你可以理解成伴随着 当某样东西被扔出去的时候 这和这种曲线有什么关系呢? 我立刻想象这就是轨迹, 这是一个路径,这很近似 被抛出的物体的路径 当你开始学习物理时 你会看到这个路径 当一个物体被抛出的时候,路径就是抛物线 可能这是抛物线的由来 但是还有很多关于 为什么叫抛物线的解释 在历史中消失了 但是具体来说,什么是抛物线? 在后边的视频里,我们会来描述它 用更代数的方法 在这里,我们只是想了解一下 抛物线是什么样的 并介绍一些关于抛物线的术语 这三个曲线,他们都是我用手画的 你可以很快发现 一些很有趣的东西 某些是向上开口的,像这个黄色的 和这个粉色的,而某些是向下开口的 你会经常听到人们会说,往下开 开口往下或者说开口往上 所以我们先弄懂他们在说什么 希望这是不言自明的 向上开口,那抛物线 朝坐标纸的顶部打开 这里,朝坐标纸的底部打开 这个像一个正常的U 这个像一个颠倒的U 这个粉色的是向上开口的 现在你会看到另一个与抛物线相关的项 再一次地,在后边的视频中 我们会学到如何计算这些东西 并精确地找到它们,就是顶点。 顶点就是你能看到的抛物线的 最高点或者最低点 如果一个抛物线向上开口,就像右边这两个一样 他们的顶点是最低点 顶点是最低点 如果有人问,这个黄色的抛物线的 顶点是什么 看起来像x,看起来x坐标 是3.5,所以是3.5 看起来y坐标 看起来像-3.5 再一次,一旦我么用方程来表示这些东西 我们会有方法 把他们计算得更精细 但是另外一个向上开口的抛物线的顶点 是最低点 是低点 向上开口的抛物线没有最高点 随着x的变大而变大 在正方向或者负方向上 如果你的抛物线开口向下 那么顶点就是它的最高点 跟顶点相关的概念是 对称轴 整体上来讲,当我们讲到对称轴的时候, 二维的,甚至三维的 尤其是二维的,你可以想象有一条线 图像能够沿着这条线对折 然后重合,对折到自身了 这个黄色图像的对称轴 这个黄色抛物线的对称轴是这条线 我争取画的好一点 是这条线 你可以沿着这条线把抛物线对折 然后他们会重合 这条线,我没有画得很整齐 应该直接穿过顶点 所以这条线的描述 你可以说这条线x=3.5 同样地,这条粉色抛物线的对称轴 应该通过x=-1 我来画一下 这是对称轴 它通过顶点 如果你能沿着它对折,它会自身重合 这条绿色抛物线的对称轴呢? 再一次地,它应该穿过顶点 看起来像是x=-6 我们写下来 这是对称轴 现在另外一个概念,不是抛物线特有的 但是我们也要说一下 是截距,所以当人们说y截距时 你们第一次画直线的时候就看到了这个 当有一个图形 曲线在什么地方与y轴相交? 所以这个黄色图形的y轴的截距应该是在这里 看起来像是点(0,3) (0,3) 这个粉色图形与y轴的截距 至少在这个图形纸上,我们没能看到y轴的截距 但是它最终还是会跟y轴相交 应该相较于屏幕外的一点 你可能也会对x轴的截距很熟悉 这个概念对抛物线来说很有趣 我们会在后边的视频里讨论 x轴的截距是指 曲线在何处与x坐标轴相交 这个黄色的曲线,你可以看到有两个交点 这个他们相交的位置 直线最多只能与x轴相交一次 但是我们可以看到 抛物线可以与x轴相交两次 因为抛物线又返回来相交一次 这里的x轴截距应该是点 (1,0)和(6,0) 你可能已经注意到一些有趣的事情 x轴截距围绕对称轴是对称的 所以它们到对称轴的距离是相等的 你们看下确实是 他们到对称轴的距离 都是2.5 同样地,如果你知道截距点, 你可以取x坐标的中点 这个时候你就有对称轴了 对称轴的x坐标 和顶点的x坐标 同样地,这条线的x轴截距看起来是负的 这两点是 (-7,0)和(-5,0) 顶点的x轴坐标,对称轴 在这两个点的中间 值得注意的是 并不是所有的抛物线都与x轴相交 注意这条开口向上的紫色的抛物线 它的最低点在x轴以上 所以它永远不会与x轴相交 所以它不会有x轴截距 我们暂时不管它 这些其实是抛物线的核心理念 当我们用方程来表示抛物线的时候 我们会讨论更多的细节 你会看到,这些方程 会涉及到二次项 最简单的抛物线方程是 y=x² 但是你可以把它复杂化一点 你可写 y=2x²-5x+7 这些类型我们会用更一般的术语来讨论 这种类型的方程有时被称为二次方程 它们通常用抛物线来表示