If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

如果你被网页过滤器挡住,请确保域名*.kastatic.org*.kasandbox.org 没有被阻止.

主要内容

求解标准形式的抛物线的顶点

小萨将方程 y=-5x^2-20x+15 改写为顶点形式 (通过配方),以找出该抛物线的顶点。 Sal Khan蒙特雷科技大学 创建

视频字幕

这里有一个方程 是一个2次方程 是一个2次方 我知道它的图形应该是抛物线 稍微回顾一下,我们知道图形应该看起来像这样或者 像这个样子 因为在x二次方的系数是正的 我就知道这是一个开口朝上的抛物线 我很想知道这个抛物线的顶点是什么 如果我们有一个开口朝上的抛物线 那么其顶点就是这个抛物线的最低点 而如果我有一个开口朝下的抛物线 那么顶点就是它的最高点 所以我要来求这个x的值是多少 我其实不知道这个抛物线与x轴有没有交点 或者说它的确与x轴相交 但是我就是想找到x的值等于多少 当这个函数取最小值的时候 现在有很多方法去找顶点 可能最简单的方法就是用公式 就像其他很多视频里已经学到过 怎么找抛物线的顶点或者找 抛物线的顶点的x轴坐标 所以x轴坐标 就等于负b/2a 这里的负b, 就是系数, 就是一次方的系数 在x的一次方的系数 而a是x的二次方上的系数 所以这里b等于-20 所以为负的负20除以2乘以5 所以就等于正20 除以10,也就是等于2 然后我们就找到了抛物线的y轴坐标 我们把这个值代入方程 y值为5乘以2的平方 减去20乘以2再加15,那么等于多少呢 也就是5乘以4等于20,减去40等于-20 再加15等于-5 就像这样的话,我们就算出了坐标点 这个坐标点就在这里,为(2,-5) 但是我们并不想只满足于 用一个公式代入即可 我们想搞清楚为什么会是这样 当您看这个2次方程 这是一次方项 这个x的值应该是2个根的中间值 这是一种思考的方法 但是下面另一种思考的方法,也许这个方法 会对您今后更有帮助 因为您可能会忘记这个公式 其实就是怎么来对这个方程做一个变形 变形之后您就能找到这个最低点 我们用凑平方数的方法来做 我们来重写这个方程 我先将前面2项提取公因数 我可以把5提出来,因为我要凑一个平方数的话 我要先把这个15放在右边 因为我要来做一下变形 所以变成5(x²-4x ) 我把15写在外面 然后我要重写凑成完全平方 我们只需要提醒自己的是 如果我有(x+a)的平方,也就是 x的平方加2ax加a的平方 所以如果我要凑成这个样子, 凑成完全平方的话,我只需 把这个系数除以2,再平方然后再加起来 就变成这个样子 我现在就来这么做 所以负4的一半就是负2 再做平方,变成正4 这里要非常小心 我不能就这么随意的加一个正4在这里 必须要照顾到这是个等式 如果在加4之前等式成立的话 那么加上4之后等式就不会成立 所以我这里要合理的去加减 要么在等式2边都加4,要么我就要很仔细 在等式的2边加上一个相同的数 或者减去一个相同的数 现在,我要小心的是 我不是仅仅在等式右边加上4 记住,4要被5相乘的 我是在等式的右边加上了20 所以如果我要保持等式的平衡性 要使这个等式仍然成立 要么我就要在y的一边加上20或者 我要在等式右边减去20 那我就选后者吧 我就在等式右边减20 所以我加上了5乘以4 如果您来分配的话,您也会这么做 我其实就是加一个20 然后再减去一个20 这和我刚才做的完全一样 如果您来分配5,那就变成5x²-20x 加上20加上15减去20 就是像这样 我之所以这么做的重点在于 我可以重写为有趣的方式 我可以重写为y等于5乘以(x-2)的平方 然后15减20等于负5 所以重点就在于可以这么来看 这个等式什么时候有最小值呢 我们知道这个项 永远都是非负数 或者我们可以这么说 它永远大于等于0 整个式子要取得最小值的话 就是当这个项为0或者当x等于2 当x等于2,我们就达到了最小值 那么当x等于2会发生什么呢 这个这项就等于0,y就等于负5 那么抛物线顶点坐标点就是(2,-5)