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主要内容

用平方根求解二次方程

了解如何解出形如 x^2=36 和 (x-2) ^ 2 = 49 的二次方程。

学习这节课之前你应该熟悉的概念

本课内容

到目前为止, 你已经解答了直线方程式,其中包括常数(普通数字)以及一次方的变量x1=x
接下来,你将学习如何解答包含二次项变量x2一元二次方程.
观察下列几种一元二次方程:
x2=36
(x2)2=49
2x2+3=131
我们来学学怎么解答他们.

解答x2=36以及类似的方程

要解x2=36这个方程,首先得分析所求的未知数需要满足什么条件.这道题问的是哪个数字与自己相乘时会得到36.
你可能觉得这个概念很熟悉,因为这正是36的平方根的定义,用36来表示.
下列是这道题的完整解法:
x2=36x2=36取平方根.x=±36x=±6
接下来回顾一下这个解法中的要点.

±号是什么意思

注意到每个正数都有正负两个平方根.例如66的平方都等于36.因此,这个方程有两个解.
±号是一种能更迅速表达这种概念的符号.例如±6表示”66“.

有关逆运算的要点

在解直线方程时,我们可以用逆运算来把变量放在等式左边:如果变量加了3,那就两边同时减去3.如果变量乘了4,那就两边同时除以4.
平方的逆运算是平方根.但是,不同于其他逆运算,取平方根时,正平方根负平方根都要考虑到.
现在自己来试试解一些类似的方程吧.
问题1
x2=16.
x=±
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题2
x2=81.
x=±
  • 你的答案是
  • 一个整数,例如 6
  • 一个最简真分数,如 3/5
  • 一个最简假分数,如 7/4
  • 一个混合带分数,例如 1 3/4
  • 一个精确的十进位小数,例如0.75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题3
x2=5.
选出正确答案:

解答(x2)2=49以及类似的方程

下面是解方程(x2)2=49的过程:
(x2)2=49(x2)2=49取平方根.x2=±7x=±7+2加2.
因此,这道题的答案是x=95.
接下来回顾一下这个解法中的要点.

x放到等式左边

利用平方根运算来取掉平方符号.接下来,两边同时加2来完全把x单独放在等式左边.

看懂解法

解法的最后一步是x=±7+2.如何理解这个步骤呢?记住,±7代表“+77.”因此,这个步骤有两个解:x=7+2x=7+2.
所以这道题有两个答案:x=9x=5.
现在自己来试试解一些类似的方程吧.
问题 4
(x+3)2=25.
选出正确答案:

问题5
(2x1)2=9.
选出正确答案:

问题6
(x5)2=7.
选出正确答案:

为什么不该展开括号

回顾示例中的等式(x2)2=49,尝试像解直线方程那样把括号展开.
括号展开后得到下列等式:
x24x+4=49
如果我们想要在这个方程中取得方根,我们就必须开表达式x24x+4的方根, 但我们不清楚x24x+4 是否可以重写为一个很好的表达式。
另一方面,取x2(x2)2这类二次项表达式的平方根则会得到x(x2)这样对解题有帮助的表达式.
因此,在一元二次方程中,我们应当保持因式不变来整体取平方根.

解答2x2+3=131类型的一元二次方程

并非所有一元二次方程都能用立刻取平方根的方式解开.有时我们需要先找出合适的二次项表达式,再取平方根.
例如,要解方程2x2+3=131,我们得先把x2单独放到等式左边.回顾之前解直线方程式时把x放到等式左边的步骤,这里也是一样的道理.
2x2+3=1312x2=128减去3.x2=64除以2.x2=64取平方根.x=±8
现在自己来试试解一些类似的方程吧.
问题7
3x27=5.
选出正确答案:

问题 8
4(x1)2+2=38.
选出正确答案:

挑战题
x2+8x+16=9.
选出正确答案:

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