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主要内容

代数1

课程: 代数1 > 单元 16

课程 3: 用开根法求解二次方程
数学
代数1
二次方程
用开根法求解二次方程
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用平方根求解二次方程

Google课堂
了解如何解出形如 x^2=36 和 (x-2) ^ 2 = 49 的二次方程。

学习这节课之前你应该熟悉的概念

本课内容

到目前为止, 你已经解答了直线方程式，其中包括常数（普通数字）以及一次方的变量x, start superscript, 1, end superscript, equals, x
接下来，你将学习如何解答包含二次项变量x, squared的一元二次方程.
观察下列几种一元二次方程：
x, squared, equals, 36
left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49
2, x, squared, plus, 3, equals, 131
我们来学学怎么解答他们.

解答x, squared, equals, 36以及类似的方程

要解x, squared, equals, 36这个方程，首先得分析所求的未知数需要满足什么条件.这道题问的是哪个数字与自己相乘时会得到36.
你可能觉得这个概念很熟悉，因为这正是36的平方根的定义，用square root of, 36, end square root来表示.
下列是这道题的完整解法：
x2=36x2=36取平方根.x=±36x=±6\begin{aligned}x^2&=36\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{36}&&\text{取平方根.}\\\\ x&=\pm\sqrt{36}\\\\ x&=\pm 6\end{aligned}
接下来回顾一下这个解法中的要点.

plus minus号是什么意思

注意到每个正数都有正负两个平方根.例如6和minus, 6的平方都等于36.因此，这个方程有两个解.
plus minus号是一种能更迅速表达这种概念的符号.例如plus minus, 6表示”6或minus, 6“.

有关逆运算的要点

在解直线方程时，我们可以用逆运算来把变量放在等式左边：如果变量加了3，那就两边同时减去3.如果变量乘了4，那就两边同时除以4.
平方的逆运算是平方根.但是，不同于其他逆运算，取平方根时，正平方根和负平方根都要考虑到.
现在自己来试试解一些类似的方程吧.
问题1
解x, squared, equals, 16.
x, equals, plus minus
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题2
解x, squared, equals, 81.
x, equals, plus minus
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题3
解x, squared, equals, 5.
选出正确答案：

解答left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49以及类似的方程

下面是解方程left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49的过程：
(x−2)2=49(x−2)2=49取平方根.x−2=±7x=±7+2加2.\begin{aligned}(x-2)^2&=49\\\\ \sqrt{(x-2)^2}&=\sqrt{49}&&\text{取平方根.}\\\\ x-2&=\pm 7\\\\ x&=\pm 7+2&&\text{加2.}\end{aligned}
因此，这道题的答案是x, equals, 9或minus, 5.
接下来回顾一下这个解法中的要点.

把x放到等式左边

利用平方根运算来取掉平方符号.接下来，两边同时加2来完全把x单独放在等式左边.

看懂解法

解法的最后一步是x, equals, plus minus, 7, plus, 2.如何理解这个步骤呢？记住，plus minus, 7代表“plus, 7或minus, 7.”因此，这个步骤有两个解：x, equals, 7, plus, 2或x, equals, minus, 7, plus, 2.
所以这道题有两个答案：x, equals, 9和x, equals, minus, 5.
现在自己来试试解一些类似的方程吧.
问题 4
解left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, equals, 25.
选出正确答案：

问题5
解left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 9.
选出正确答案：

问题6
解left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, squared, equals, 7.
选出正确答案：

为什么不该展开括号

回顾示例中的等式left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49，尝试像解直线方程那样把括号展开.
括号展开后得到下列等式：
x, squared, minus, 4, x, plus, 4, equals, 49
如果我们想要在这个方程中取得方根，我们就必须开表达式x, squared, minus, 4, x, plus, 4的方根， 但我们不清楚square root of, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end square root 是否可以重写为一个很好的表达式。
另一方面，取x, squared或left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared这类二次项表达式的平方根则会得到x或left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis这样对解题有帮助的表达式.
因此，在一元二次方程中，我们应当保持因式不变来整体取平方根.

解答2, x, squared, plus, 3, equals, 131类型的一元二次方程

并非所有一元二次方程都能用立刻取平方根的方式解开.有时我们需要先找出合适的二次项表达式，再取平方根.
例如，要解方程2, x, squared, plus, 3, equals, 131，我们得先把x, squared单独放到等式左边.回顾之前解直线方程式时把x放到等式左边的步骤，这里也是一样的道理.
2x2+3=1312x2=128减去3.x2=64除以2.x2=64取平方根.x=±8\begin{aligned}2x^2+3&=131\\\\ 2x^2&=128&&\text{减去3.}\\\\ x^2&=64&&\text{除以2.}\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{64}&&\text{取平方根.}\\\\ x&=\pm 8\end{aligned}
现在自己来试试解一些类似的方程吧.
问题7
解3, x, squared, minus, 7, equals, 5.
选出正确答案：

问题 8
解4, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, 2, equals, 38.
选出正确答案：

挑战题
解x, squared, plus, 8, x, plus, 16, equals, 9.
选出正确答案：

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