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课程 5: 利用因式分解求解二次表达式等式

利用因式分解求解二次表达式等式

学习如何求解二次方程等式，例如(x-1)(x+3)=0，以及如何利用因式分解求解其它形式的等式。

学习这节课之前你应该熟悉的概念

本课内容

到目前为止, 你已经解答了直线方程式，其中包括常数（普通数字）以及一次方的变量

x^{1} = x

你可能也解答过一些 二次方程, 其中包括变量的二次幂, 用取两边的平方根来解决问题。

在本课中, 你将学习一种解答二次方程的新方法。具体地说, 你将学习到

如何解决像 $(x - 1) (x + 3) = 0$ ‍ 这样的分解方程，还有
还有如何使用因式分解的方法将二次方程 $($ ‍例如 $x^{2} - 3 x - 10 = 0)$ ‍ 变为两个因式相乘的形式并解方程。

解因式分解的一元二次方程

假设我们要求解一元二次方程

(x - 1) (x + 3) = 0

这两个因式相乘的积等于零. 注意任何使

(x - 1)

或者

(x + 3)

为零的

x

，同样是它们的乘积为零.

\begin{aligned} (x - 1) & (x + 3) = 0 \\ ↙ & ↘ \\ x - 1 = 0 & x + 3 = 0 \\ x = 1 & x = - 3 \end{aligned}

把

x = 1

或者

x = - 3

代入方程都会使方程两边等于零，所以这两个都是方程的解.

现在自己来试试解一些类似的方程吧.

解方程 $(x + 5) (x + 7) = 0$ ‍.

解方程 $(2 x - 1) (4 x - 3) = 0$ ‍.

反思题

可以用相同的办法解方程 $(x - 1) (x + 3) = 6$ ‍ 吗？

你刚学到的这种解题方法只适用于当两个因式相乘等于零的情况。

因为当乘积等于零时，我们可以断定其中的一个因式必须为零，我们不必管另一个因式是什么。

对于乘积不为零的情况，比如等于

6

，那么对因式没有特殊的要求。我们只能看两个因式一起的情况。例如：

如果其中一个因式是 $1$ ‍，那么另一个则为 $6$ ‍;
如果其中一个因式是 $2$ ‍，那么另一个则为 $3$ ‍；或者
如果其中一个因式是 $\frac{1}{2}$ ‍，那么另一个则为 $12$ ‍。

这不允许我们把二次方程变成两个单独的线性方程。

关于零积法则

我们怎么知道除了已得到的两个解以外就没有其他的解了呢？

答案就是根据一个非常简单但使用的法则 零积法则:

*如果已知两个数的乘积为零，那么这两个数当中必然有一个为零. *

我们可以试着代入任何一个除了方程解以外的数字到

x

，都会得到两个非零数字的乘积，结果也一定不是零。所以我们知道方程只有这两个解.

通过因式分解解方程

假设我们要解方程

x^{2} - 3 x - 10 = 0

, 我们只需要像以前一样把方程

x^{2} - 3 x - 10

因式分解.

x^{2} - 3 x - 10

因式分解为

(x + 2) (x - 5)

由于最高次项系数(

x^{2}

的系数) 是

1

，我们可以用十字相乘法。

根据十字相乘法，如果两个数字

a

和

b

有以下关系：

a + b = - 3

和

a \cdot b = - 10

，那么

x^{2} - 3 x - 10 = (x + a) (x + b)

。

先考虑那对整数的乘积为

- 10

然后去掉那些和不是

- 3

的组合，我们就可以找到我们需要的数字

a = 2

和

b = - 5

。

因此，因式分解后的式子是 $(x + 2) (x - 5)$ ‍。

具体解题步骤如下：

$\begin{aligned} x^{2} - 3 x - 10 & = 0 \\ (x + 2) (x - 5) & = 0 & 因式. \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 2 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 2 & x & = 5 \end{aligned}$ ‍

现在轮到你自己解决几个方程式了.请记住, 不同的方程要求不同的分解方法.

解方程 $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

步骤 1. 提取方程 $x^{2} + 5 x$ ‍ 的因式，将它分解成两个因式的乘积.

步骤 2.解方程。

解方程 $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

步骤 1. 提取方程 $x^{2} - 11 x + 28$ ‍ 的因式，将它分解成两个因式的乘积.

由于最高次项系数（

x^{2}

的系数）是

1

，我们可以使用十字相乘法。

根据十字相乘法，如果两个数字

a

和

b

有以下关系：

a + b = - 11

和

a \cdot b = 28

，那么

x^{2} - 11 x + 28 = (x + a) (x + b)

。

先考虑哪对整数的乘积可能为

28

然后去掉那些和不等于

- 11

的组合，我们就可以找到我们需要的数字

a = - 4

和

b = - 7

。

因此，因式分解后的式子为 $(x - 4) (x - 7)$ ‍.

步骤 2.解方程。

解方程 $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

步骤 1. 提取方程 $4 x^{2} + 4 x + 1$ ‍ 的因式，将它分解成两个因式的乘积.

步骤 2.解方程。

我们已经将方程

4 x^{2} + 4 x + 1

因式分解为

(2 x + 1)^{2}

。所以我们可以按以下步骤解方程了：

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 4 x + 1 & = 0 \\ (2 x + 1)^{2} & = 0 & 因式分解后 \end{aligned}$ ‍

这种情况下，由于两个公因式相同，都是

2 x + 1

。所以不需要求解两个方程。可以使

(2 x + 1)^{2}

为零的只有一种情况，那就是

2 x + 1

为零。

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \\ 2 x & = - 1 \\ x & = - \frac{1}{2} \end{aligned}$ ‍

所以，方程只有唯一的解 $x = - \frac{1}{2}$ ‍。

解方程 $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.

步骤 1. 提取方程 $3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ 的因式，将它分解成两个因式的乘积.

由于最高次项系数（

x^{2}

项的系数）不是1，我们可以用拆添项法。

首先，我们要找到两个数字

a

和

b

，使得

a + b = 11

并且

a b = (3) (- 4) = - 12

先考虑哪对整数的乘积可能为

- 12

然后去掉那些和不等于

11

的组合，我们就可以找到我们需要的数字

a = 12

和

b = - 1

。现在我们把

11 x

写成

(12 x - x)

然后重组。

$\begin{aligned} 3 x^{2} + 11 x - 4 \\ = 3 x^{2} + 12 x - x - 4 \\ = 3 x (x + 4) - 1 (x + 4) \\ = (3 x - 1) (x + 4) \end{aligned}$ ‍

所以， $3 x^{2} + 11 x - 4$ ‍ 可以分解成 $(3 x - 1) (x + 4)$ ‍。

步骤 2.解方程。

在因式分解前整理方程

等号的一边必须为零。

下面是解方程

x^{2} + 2 x = 40 - x

的过程：

$\begin{aligned} x^{2} + 2 x & = 40 - x \\ x^{2} + 2 x - 40 + x & = 0 & 两边减40加 x . \\ x^{2} + 3 x - 40 & = 0 & 合并同类项. \\ (x + 8) (x - 5) & = 0 & 因式分解. \end{aligned}$ ‍

\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ x + 8 & = 0 & x - 5 & = 0 \\ x & = - 8 & x & = 5 \end{aligned}

在做因式分解前，我们先整理方程，将所有的项放在等号的一边，使等号的另一边为零。只有这样我们才可以用因式分解的方法。

去掉公因式

下面是解方程

2 x^{2} - 12 x + 18 = 0

的过程：

$\begin{aligned} 2 x^{2} - 12 x + 18 & = 0 \\ x^{2} - 6 x + 9 & = 0 & 除以2. \\ (x - 3)^{2} & = 0 & 因式分解. \\ ↓ \\ x - 3 & = 0 \\ x & = 3 \end{aligned}$ ‍

方程中的所有项一开始都有一个公因数

2

, 所以我们两边同时除以

2

—零的一边还是零—这样可以使后面的因式分解更容易。

现在自己来试试解一些类似的方程吧.

找出下列方程的解.

$2 x^{2} - 3 x - 20 = x^{2} + 34$ ‍

找出下列方程的解.

$3 x^{2} + 33 x + 30 = 0$ ‍

找出下列方程的解.

$3 x^{2} - 9 x - 20 = x^{2} + 5 x + 16$ ‍

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学习这节课之前你应该熟悉的概念

本课内容

解因式分解的一元二次方程

反思题

关于零积法则

通过因式分解解方程

解方程 x2+5x=0‍ .

解方程 x2−11x+28=0‍ .

解方程 4x2+4x+1=0‍ .

解方程 3x2+11x−4=0‍ .

在因式分解前整理方程

等号的一边必须为零。

去掉公因式

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解方程 $x^{2} + 5 x = 0$ ‍.

解方程 $x^{2} - 11 x + 28 = 0$ ‍.

解方程 $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ‍.

解方程 $3 x^{2} + 11 x - 4 = 0$ ‍.