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利用因式分解求解二次表达式等式

视频字幕

欢迎收看 这一节讲因式分解解二次方程 本字幕由网易公开课提供,更多课程请到http//open.163.com 还是先看几个题目 假设有函数f(x)=x2+6x+8 网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open 首先画图 大概是这样的 这只是大概的样子 一条抛物线 抛物线与x轴交于两点 oCourse字幕组翻译:只做公开课的字幕组 http://ocourse.org 这里和这里 下面要求这两点的位置 首先 函数与x轴交于两点 这表示f(x)=0 这是f(x)轴 和y轴一样 这里f(x)=0 要解这个方程 解f(x)=0 有x2+6x+8=0 这是一个一元方程 看起来简单 但x2项让我们很头疼 所以需要因式分解 即x2+6x+8 可以写成(x+什么)(x+什么)的形式 这时仍然等于0 这一节 我将展示 机械的做法 另外还有一节讲为什么如此 你可以将结果乘出来 看表达式是不是对得上 这里我们要看的是 x项系数为6 看哪两个数相加为6 同时这两个数相乘得8 8有哪些因数 8的因数有1 2 4 8 1?8=8 但1+8=9 不对 2?4=8 2+4=6 就是它 所以这里是(x+2)(x+4)=0 如果两个表达式 两个数相乘为0 那么两个数至少有一个为0 于是x+2=0 或 x+4=0 这就简单了 两侧减去2 x=-2 这个则是x=-4 将这两个值代入原方程 结果肯定正确 我检验下-2 -4就留给大家 (-2)2+6×(-2)+8 (-2)2=4 6×(-2)=-12 +8 这显然是0 检验-4 肯定也成立 这很有趣 不是吗 这个方程有2个解 这其实很正常 因为 f(x)和x轴相交于两点 再看一题 f(x)=2x2+20x+50 要求它同x轴的交点 设f(x)=0 交换方程左右两侧 2x2+20x+50=0 这和上次有一些不同 x2的系数是2不是1 1显然更容易点 这时 可以整个式子两侧除以2 有 x2+10x+25=0 也可以说两侧同时乘以1/2 同除以2是一回事 0×1/2显然还是0 后面和原来一样 大家可以暂停 自己试试 分解成(x+什么)(x+什么)=0的形式 分解成(x+什么)(x+什么)=0的形式 这两个相加是10 相乘是25 想想25的因数 有1 5和25 1×25=25 1+25=26 不是10 5×5=25 5+5=10 所以是5 这两个数同时都是5 所以x+5=0 或 x+5=0 只写一次即可 x=-5 这个如何理解呢 我讲过 这种函数可以同x轴 有两个交点 但这里为何只1个解 因为 它是这样的 x=-5时 抛物线正好 相切 然后折回 因此交点不是两个 只有x=-5一处 作为练习 同时也作为验证 我们乘一下(x+5)(x+5) 验证它和之前的式子相等 这等价于 x(x+5)+5(x+5) x2+5x+5x+25 即x2+10x+25 正是原来的式子 另外 还有个视频会更清楚地解释 再看一个问题 这次我开门见山 解x2-x-30=0 老办法 2个数相加等于x项系数-1 老办法 2个数相加等于x项系数-1 可以写成A+B=-1 而A?B=-30 想想30有哪些因数 有1 2 3 5 6 10 15 30 这次就复杂得多了 A?B=-30 其中一个数需要是负数 但又不能同时为负数 因为负负得正 正30 A?B要等于-30 所以要找出这两个因数 而且两者之差为-1 看一下这些数 它们成对乘出30 但只有5和6之间相差1 由于A+B=-1 我讲得很快 因为我想多讲点 这里是(x-6)(x+5)=0 想想 -6?5=-30 -6+5=-1 正确 现在你也许还有点搞不懂 但练习多了之后就好了 所以x=6 或 x=-5 现在大家可以自行练习类似题目了 现在大家可以自行练习类似题目了 之后还有视频 祝开心