二次方程应用题：三角形的边长

一个三角形的高比 它的底短4英尺。 这个三角形的面积是30平方英尺。 求出三角形的高和底。 用三角形面积等于二分之一 底乘高的公式。 OK。 让我们思考一下。 我们有--让我在这儿画个三角形。 这是我们的三角形。 假如说这个底的长度， 这个底，我们称之为b. 那么这是高。 这是三角形的高。 那么三角形的面积等于底乘高的一半。 在这句话中告诉了我们 三角形的高 比三角形的底少4英尺。 所以高度等于底减4. 这是第一句话提供的信息。 三角形的面积是30平方英尺。 所以二分之一的底乘高 就等于30平方英尺。 或者我们可以说30平方英尺等于 二分之一乘以底乘以高。 现在不用h来表达高， 我们知道高度其实就等于 底的长度在减4. 让我们代进去。 比底少4. 让我们看看我们得到了什么。 我们得到了--让我用黄色。 我们得到了30等于二分之一乘以-- 让我们把b分配--乘以b,让我把它搞清晰一些。 让我们这样做。 乘以b除以2，乘以b减4 我只是变成了乘以二分之b. 现在让我们把二分之b分配。 30就等于二分之b的平方，要谨慎一些。 二分之b乘以b等于二分之b方。 然后二分之b,乘以-4等于-2b. 现在让我们把分式消掉。 这里让我们在等式两侧同时乘以2. 让我们把这一侧乘以2. 把这一侧乘以2. 在左侧你会得到60. 右侧是2乘以二分之b方 就等于b方。 -2b乘以2等于-4b. 现在我们有了一个平方式。 最好的解平方式的方法-- 我们这里有二次项式-- 就是把所有的项移到一侧 然后让他们等于0. 所以让我们在两侧同时-60. 我们得到了0等于b^2-4b-60 我们这里需要做的就是把这些 因式分解。 然后，不--如果我有两项的乘积， 等于0，那就意味着其中之一 等于0. 所以我们需要因式分解b^2-4b-60. 所以我们要做的是，我们要找到两个数 这两个数的和是-4，乘积是-60. 现在，因为乘积是负的， 我们知道这两个数异号。 这就告诉我们它们的绝对值 差值等于4. 就是其中一个数的绝对值比另一个数的绝对值小4. 所以你可以把它看成60的因数。 1和60差太多了。 即使其中之一为负， 你只会得到正59或负59 的和。 2和30，依旧差太多。 3和20，依旧差太多。 如果其中之一为负 那么你会得到正17或-17. 然后4和15，依旧差太多。 如果你让其中之一为负， 它们的和会是正11或负11. 然后是5和12，依旧彼此 差得远。 其中一个是负的话， 那么和就是正7或者-7. 然后是6和10. 现在这就看起来很有趣了。 它们差4. 所以如果我--我们希望绝对值大的是负的 那么它们的和就是负的。 所以如果我用6和-10 他们和就是-4，它们的乘积就是 -60. 这个可以。 所以你就可以说这个等于 b+6,乘以b-10.b+a, 乘以b-b 让我小心一点。 这个b,我希望解释一下， 是不同于我们在公式中用到的b. 我在这里用b只是说，看， 我们在寻找两个数的和 等于第二项系数。 是一个不同的b. 我可以说x+y=-4, x*y=-60. 事实上，让我这样做防止混乱。 我们可以写成x+y=-4. 然后x*y等于-60. 所以我们有b+6乘以b+y.x是6， y是-10. 这个等于0. 让我们解一下。 然后我会回去向你展示 你可以使用分组分解法。 但是从这里，我们知道其中之一 必须等于0. 或者b+6=0，或者b-10=0. 如果我在两侧同时减6， 我们得到b=-6. 或者如果你在两侧同时加10， 你得到b=10. 这是两个解。 你可以把它们代回去 来验证它们是否满足题目要求。 现在另一个你可以使用的方法， 这个方法也会得到相同的答案。 就是你可以把这个-4b 分解成两个部分。 所以你可以把这个分解成0=b^2 然后你分解成+4b-10b -60. 然后你通过分组进行因式分解。 把这两项分组。 把这两项分组。 然后加起来。 第一个你可以因式分解出来的是b. 所以你有b(b+6). 第二个你可以分解出-10. 所以-10（b+6). 这些等于0， 现在你可以把（b+6)因式分解出来。 所以如果你把（b+6)分解出来， 你会得到0=(b-10)(b+6). 我们只是把这个表达式因式分解。 你就得到了b-10. 你就得到了和这一步一样的式子。 哪个方法都可以。 两个都可以，解就是 b=-6或者b=10. 但是我们要小心一点。 记住，这是一个应用题。 我们不能只说，哦b可以得遇-6或10. 我们要思考这个答案是否在 题目语境中合理。 我们讨论的是三角形的长度， 或者说三角形边的长度。 我们不能有负的长度。 所以因此这个三角形 边的长度不能等于-6. 所以我们可以把这个排除。 所以事实上我们只有一个解。 我们差点就犯了一个粗心的错误。 忘了我们是在解决真实世界中的问题。 唯一的底就是10. 让我们看看，题目说找到高和底。 再一次，做完了。 所以底就是10， 高是短4英尺。 就是b-4. 所以高就是6. 然后我们可以检验。 面积等于6乘10的一半，就是30.