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主要内容

用结构求解二次方程

Sal 用 p 替换了 2x-3,从而将 (2x-3)^2=4x-6 简化为了 p^2=2p 后求出了解。

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视频字幕

- 【画外音】所以我们要 找到这个方程的解。 方程左边是 2x - 3 的平方, 右边是 4x - 6, 建议你暂停一下本视频 自己试着做解答。 这里我稍微提示一下, 你可以按照通常的方法 把平方项展开且合并同类项, 然后把它写成二次方程的通式再套公式, 但如果你注意到这个方程的 特别之处,就可以找到 更便捷的解法。 请注意,我们看到 左边是 2x - 3 的平方, 右边是 4x - 6 。 4x - 6 刚好是 2x - 3 的两倍, 我把它写清楚些, 因此这个方程就是 2x - 3 的平方等于, 4x - 6, 把公因数 2 分解出来, 就是 2 乘以 2x - 3 。 这一题有意思的地方就是, 某式子的平方等于 它自己的两倍。 因此如果我们能把这个式子当作未知元来解, 我要把这一点讲清楚, 这个画了蓝色线的式子的平方 等于它自己的两倍。 所以如果我们能把 画了蓝线的式子解出来, 进而我们就可以把 x 解出来, 下面我就按照这个思路来解题。 把 2x - 3 当作未知元, 就要用一个字母来取代它, 假设它为 P 。 因此 P 就 等于 2x - 3 . 这样原方程就简单了, 左边是 P 平方, P 平方 等于 2 乘以 P, 原因当然是 2x - 3 等于 P, 所以右边为 2 倍的 P 。 现在只要解出 P 。 现在只需要用一种颜色了。 把这个方程改写一下, 两边都减去 2 P, 就得到 P 平方减去 2P 等于 0 , 而我们可以把公因式 P 分解出来, 因此得到 P 乘以 P - 2 等于 0 . 我们以前多次见过这个情况, 如果有两个式子的积等于 0, 至少其中一个式子必须等于 0, 所以要么 P 等于 0, 要么 P - 2 等于 0 . 如果是 P - 2 等于 0, 那么 P 就等于 2 . 因此 P 要么等于 0, 要么 P 等于 2 . 我们还没有解完, 因为原方程要解的是 x , 而不是 P 。 不过我们有幸得知 2x - 3 等于 P。 因此现在我们得知 2x - 3 可能等于这个 P 值, 即等于 0, 或者 2x - 3 等于那个P 值, 即等于 2 . 这样就很容易求解, 左边的方程可以在两边都加上 3, 得到 2x = 3 . 然后两边都除以 2, 就得出 x 可能等于 3/2, 另一个可能是来自右边的方程, 两边都加上 3 后得到 2x = 5 . 同样两边都除以 2, 得出 x 可能等于 5/2 。 这两个是可能的解, 用 P 代入后简化了不少。 这个有关 P 的方程, 简单的可以用心算来解, 十分方便。 如果你把原方程的左边展开, 然后把所有的项移到左边来解, 就会增加许多 步骤及运算。 你虽然也可能得到正确的解, 但费事得多。 因为在这里我们看出 原方程里有些规律, 具体就是这是某式子的平方, 而那里是同样的式子的两倍, 即 2x - 3 的 2 倍。