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主要内容

代数1

Course: 代数1 > 单位 16

课程 6: 配方法
数学
代数1
二次方程
配方法
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通过配方解二次方程

Google课堂
例如, 通过将 x²+ 6 x =-2 变为 (x+3)²= 7, 然后取平方根.

学习这节课之前你应该熟悉的概念

本课内容

目前为止, 你都是通过开平方根或者分解多项式来求解一元二次方程的. 当适用时，这些方式是相对简单并且有效的. 但不幸的是, 它们并不总是适用的.
在这堂课中, 你将会学到一种能够解出任何一元二次方程的方法.

通过配方法求解一元二次方程

观察方程 x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2. 开平方根和分解多项式的方法在这里都不适用.
但不要放弃! 我们可以使用一种叫补全平方的方法. 让我们从求解开始, 然后更仔细地研究它吧.
(1)x2+6x=−2(2)x2+6x+9=7加9, 补全平方.(3)(x+3)2=7因式分解方程左侧的多项式.(4)(x+3)2=±7开平方根.(5)x+3=±7(6)x=±7−3减去3.\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{加9, 补全平方.}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{因式分解方程左侧的多项式.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{开平方根.}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&&x=&\pm\sqrt{7}-3&&\text{减去3.}\end{aligned}
因此, 方程的解为x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3和x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3.

这里发生了什么？

将9加到x, squared, plus, 6, x的start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd行里能得到一个幸运的结果, 即是使方程的表达式变成一个完美的, 可以被合并为left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared的完全平方公式. 这使我们能够通过开平方根求方程的解.
这当然不是巧合. 为了能最终得出一个完全平方公式, 数字9是被精心挑选过的.

怎样配方？

为了明白9是怎样被选出来的, 我们应该先问问自己这个问题: 如果x, squared, plus, 6, x是一个完全平方公式的开始部分, 那么常数值应该为多少？
让我们假设这个表达式可以被合并成完全平方公式left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared而常数a的值则仍然未知. 这个表达式可以被展开为x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared, 而它告诉我们两件事情：
  1. x的系数, 我们已知道是6, 应当等于2, a。也就是说a, equals, 3。
  2. 我们需要加上的常数值等于a, squared, 即3, squared, equals, 9.
试着自己完成几个完全平方吧.
问题1
一个完全平方公式的开始部分为x, squared, plus, 10, x, 那么此处缺少的常数值是多少?
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题2
一个完全平方公式的开始部分为x, squared, minus, 2, x, 那么此处缺少的常数值是多少?
  • 你的答案是
  • 一个整数，例如 6
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5
  • 一个最简假分数,如 7, slash, 4
  • 一个混合带分数，例如 1, space, 3, slash, 4
  • 一个精确的十进位小数，例如0, point, 75
  • pi 的倍数, 例如 12\ \text{pi} 或 2/3\ \text{pi}$

问题3
一个完全平方公式的开始部分为x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, 那么此处缺少的常数值是多少?
  • 你的答案是
  • 一个最简真分数,如 3, slash, 5

挑战题
一个完全平方公式的开始部分为x, squared, plus, b, dot, x, 那么此处缺少的常熟值是多少？
选出正确答案：

这道挑战题给了那些愿意使用捷径而不介意背公式的人一个补全完全平方的捷径. 它告诉我们, 为了将 x, squared, plus, b, x 补全为一个完全平方, 其中b可以为任何数字, 我们需要将 left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared 加上.
例如, 为了将 x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x 补全为一个完美平方公式, 我们加上了left parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9.

再一次求解方程

好了! 现在你已经会补全完全平方了, 让我们使用这个方法来求解方程吧.
让我们来看一个新的例子, 方程 x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12.
(1)x2−10x=−12(2)x2−10x+25=13加上2以补全完全平方公式.(3)(x−5)2=13合并方程左侧的多项式.(4)(x−5)2=±13开平方根.(5)x−5=±13(6)x=±13+5加上5.\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{加上2以补全完全平方公式.}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{合并方程左侧的多项式.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{开平方根.}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&&x=&\pm\sqrt{13}+5&&\text{加上5.}\end{aligned}
为了使左侧的表达式x, squared, minus, 10, x变成一个完全平方公式, 我们在start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd行加上了25. 同样, 我们在右侧也需要加上它, 使右侧的值从minus, 12变成了13.
一般情况下, 为了使完全平方成立而选择添加的数字不是由方程右侧决定的, 但我们始终应该两边都加上数字.
现在轮到你来求解一些方程了.
问题 4
解x, squared, minus, 8, x, equals, 5.
选出正确答案：

问题5
解x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction.
选出正确答案：

在配方法之前，整理方程

规则1：将变量和常数分开

以下是解x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1的过程：
(1)x2+5x−6=x+1(2)x2+4x−6=1减去x.(3)x2+4x=7加6.(4)x2+4x+4=11加4, 完成完全平方.(5)(x+2)2=11因式分解.(6)(x+2)2=±11开平方根.(7)x+2=±11(8)x=±11−2减去2.\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{\text{减去}x.}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{加6.}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{加4, 完成完全平方.}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{因式分解.}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{开平方根.}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&&x=&\pm\sqrt{11}-2&&\text{减去2.}\end{aligned}
当在方程的另一侧中有 x 项时, 仅在方程的一侧补全完全平方是不太有用的. 这就是为什么我们要在start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995行中减去 x, 并将所有变量项都放在方程左侧.
此外，要使x, squared, plus, 4, x成为一个完全平方，我们需要添加4.但在我们那么做之前，我们需要确保所有的常数项都在方程的另一侧.这就是为什么我们在start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff行加上了6，只保留了x, squared, plus, 4, x.

规则2：确保 x, squared 的系数为1.

以下是解3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42的过程：
(1)3x2−36x=−42(2)x2−12x=−14除以3.(3)x2−12x+36=22加上36, 完成完全平方.(4)(x−6)2=22因式分解.(5)(x−6)2=±22开平方根.(6)x−6=±22(7)x=±22+6加6.\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{除以3.}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{加上36, 完成完全平方.}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{因式分解.}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{开平方根.}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&&x=&\pm\sqrt{22}+6&&\text{加6.}\end{aligned}
这个配方法只在当x, squared的系数为1时有效。
这就是为什么我们在start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c行除以了x, squared的系数3.
有时，除以x, squared的系数反而会导致其他系数变成分数。这并不意味着你做错了什么，它只是意味着你将不得不使用分数来求解。
现在轮到你来求解一些方程了.
问题6
解4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0.
选出正确答案：

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