主要内容

通过配方解二次方程

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例如, 通过将 x²+ 6 x =-2 变为 (x+3)²= 7, 然后取平方根.

学习这节课之前你应该熟悉的概念

本课内容

目前为止, 你都是通过开平方根或者分解多项式来求解一元二次方程的. 当适用时，这些方式是相对简单并且有效的. 但不幸的是, 它们并不总是适用的.

在这堂课中, 你将会学到一种能够解出任何一元二次方程的方法.

通过配方法求解一元二次方程

观察方程

x^{2} + 6 x = - 2

. 开平方根和分解多项式的方法在这里都不适用.

[为什么会这样?]

但不要放弃! 我们可以使用一种叫补全平方的方法. 让我们从求解开始, 然后更仔细地研究它吧.

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 6 x & = - 2 \\ (2) & x^{2} + 6 x + 9 & = 7 & 加9, 补全平方. \\ (3) & (x + 3)^{2} & = 7 & 因式分解方程左侧的多项式. \\ (4) & \sqrt{(x + 3)^{2}} & = \pm \sqrt{7} & 开平方根. \\ (5) & x + 3 & = \pm \sqrt{7} \\ (6) & x = & \pm \sqrt{7} - 3 & 减去3. \end{aligned}

因此, 方程的解为

x = \sqrt{7} - 3

和

x = - \sqrt{7} - 3

这里发生了什么？

将

9

加到

x^{2} + 6 x

的

(2)

行里能得到一个幸运的结果, 即是使方程的表达式变成一个完美的, 可以被合并为

(x + 3)^{2}

的完全平方公式. 这使我们能够通过开平方根求方程的解.

这当然不是巧合. 为了能最终得出一个完全平方公式, 数字

9

是被精心挑选过的.

怎样配方？

为了明白

9

是怎样被选出来的, 我们应该先问问自己这个问题: 如果

x^{2} + 6 x

是一个完全平方公式的开始部分, 那么常数值应该为多少？

让我们假设这个表达式可以被合并成完全平方公式

(x + a)^{2}

而常数

a

的值则仍然未知. 这个表达式可以被展开为

x^{2} + 2 a x + a^{2}

, 而它告诉我们两件事情：

$x$ ‍的系数, 我们已知道是 $6$ ‍, 应当等于 $2 a$ ‍。也就是说 $a = 3$ ‍。
我们需要加上的常数值等于 $a^{2}$ ‍, 即 $3^{2} = 9$ ‍.

试着自己完成几个完全平方吧.

问题1

一个完全平方公式的开始部分为 $x^{2} + 10 x$ ‍, 那么此处缺少的常数值是多少?

问题2

一个完全平方公式的开始部分为 $x^{2} - 2 x$ ‍, 那么此处缺少的常数值是多少?

问题3

一个完全平方公式的开始部分为 $x^{2} + \frac{1}{2} x$ ‍, 那么此处缺少的常数值是多少?

挑战题

一个完全平方公式的开始部分为 $x^{2} + b \cdot x$ ‍, 那么此处缺少的常熟值是多少？

这道挑战题给了那些愿意使用捷径而不介意背公式的人一个补全完全平方的捷径. 它告诉我们, 为了将

x^{2} + b x

补全为一个完全平方, 其中

b

可以为任何数字, 我们需要将

{(\frac{b}{2})}^{2}

加上.

例如, 为了将

x^{2} + 6 x

补全为一个完美平方公式, 我们加上了

{(\frac{6}{2})}^{2} = 9

再一次求解方程

好了! 现在你已经会补全完全平方了, 让我们使用这个方法来求解方程吧.

让我们来看一个新的例子, 方程

x^{2} - 10 x = - 12

\begin{aligned} (1) & x^{2} - 10 x & = - 12 \\ (2) & x^{2} - 10 x + 25 & = 13 & 加上2以补全完全平方公式. \\ (3) & (x - 5)^{2} & = 13 & 合并方程左侧的多项式. \\ (4) & \sqrt{(x - 5)^{2}} & = \pm \sqrt{13} & 开平方根. \\ (5) & x - 5 & = \pm \sqrt{13} \\ (6) & x = & \pm \sqrt{13} + 5 & 加上5. \end{aligned}

为了使左侧的表达式

x^{2} - 10 x

变成一个完全平方公式, 我们在

(2)

行加上了

25

. 同样, 我们在右侧也需要加上它, 使右侧的值从

- 12

变成了

13

一般情况下, 为了使完全平方成立而选择添加的数字不是由方程右侧决定的, 但我们始终应该两边都加上数字.

现在轮到你来求解一些方程了.

问题 4

解 $x^{2} - 8 x = 5$ ‍.

问题5

解 $x^{2} + 3 x = - \frac{1}{4}$ ‍.

在配方法之前，整理方程

规则1：将变量和常数分开

以下是解

x^{2} + 5 x - 6 = x + 1

的过程：

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 5 x - 6 & = x + 1 \\ (2) & x^{2} + 4 x - 6 & = 1 & 减去 x . \\ (3) & x^{2} + 4 x & = 7 & 加6. \\ (4) & x^{2} + 4 x + 4 & = 11 & 加4, 完成完全平方. \\ (5) & (x + 2)^{2} & = 11 & 因式分解. \\ (6) & \sqrt{(x + 2)^{2}} & = \pm \sqrt{11} & 开平方根. \\ (7) & x + 2 & = \pm \sqrt{11} \\ (8) & x = & \pm \sqrt{11} - 2 & 减去2. \end{aligned}

当在方程的另一侧中有

x

项时, 仅在方程的一侧补全完全平方是不太有用的. 这就是为什么我们要在

(2)

行中减去

x

, 并将所有变量项都放在方程左侧.

此外，要使

x^{2} + 4 x

成为一个完全平方，我们需要添加

4

.但在我们那么做之前，我们需要确保所有的常数项都在方程的另一侧.这就是为什么我们在

(3)

行加上了

6

，只保留了

x^{2} + 4 x

规则2：确保 $x^{2}$ ‍ 的系数为 $1$ ‍.

以下是解

3 x^{2} - 36 x = - 42

的过程：

\begin{aligned} (1) & 3 x^{2} - 36 x & = - 42 \\ (2) & x^{2} - 12 x & = - 14 & 除以3. \\ (3) & x^{2} - 12 x + 36 & = 22 & 加上36, 完成完全平方. \\ (4) & (x - 6)^{2} & = 22 & 因式分解. \\ (5) & \sqrt{(x - 6)^{2}} & = \pm \sqrt{22} & 开平方根. \\ (6) & x - 6 & = \pm \sqrt{22} \\ (7) & x = & \pm \sqrt{22} + 6 & 加6. \end{aligned}

这个配方法只在当

x^{2}

的系数为

1

时有效。

[为什么会这样?]

这就是为什么我们在

(2)

行除以了

x^{2}

的系数

3

有时，除以

x^{2}

的系数反而会导致其他系数变成分数。这并不意味着你做错了什么，它只是意味着你将不得不使用分数来求解。

[给我看一个方程中有分数的例子.]

现在轮到你来求解一些方程了.

问题6

解 $4 x^{2} + 20 x - 3 = 0$ ‍.

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代数1

课程: 代数1 > 单元 16

通过配方解二次方程

学习这节课之前你应该熟悉的概念

本课内容

通过配方法求解一元二次方程

这里发生了什么？

怎样配方？

再一次求解方程

在配方法之前，整理方程

规则1：将变量和常数分开

规则2：确保 $x^{2}$ ‍ 的系数为 $1$ ‍.

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代数1

课程: 代数1 > 单元 16

学习这节课之前你应该熟悉的概念

本课内容

通过配方法求解一元二次方程

这里发生了什么？

怎样配方？

再一次求解方程

在配方法之前，整理方程

规则1：将变量和常数分开

规则2：确保 x2‍ 的系数为1‍ .

想加入讨论吗？

规则2：确保 $x^{2}$ ‍ 的系数为 $1$ ‍.