举例：配方法(首项系数≠ 1)

本例要求采用构建平方的方法 求解 4x 平方加上 40x 减去 300 等于 0 这个方程。 我们抄一下这个方程。 4x 平方加上 40x 减去 300 等于 0 。 第一步，这个 x 平方项的系数 4 在这里碍事。 我想让它变成 1。 因此把该方程的两边都除以 4。 我们把每一项都除以 4。 所以方程的左边三项的系数 都除以 4，右边的 0 也除以 4。 就是把两边都除以 4。 这样原方程的头两项变成 x 平方加上 10x 。 可以对原方程这样处理，是因为 对方程左边做某项操作， 并且对方程的右边也做同样的操作，这样 方程就依然成立。 这就是可以进行这样的变动之原因。 因此一次项的系数 40 除以 4 等于 10。 那么 300 除以 4 是多少？ 就是 75。 我验算一下。 对于 30，先用 7, 四七二十八。 30 减去 28，余数为 2。 把个位数的 0 放下来。 对于 20， 用 5。 四五二十。 这次没有余数了。 所以 300 除以 4 商是 75。 这个常数项是 －75，方程右边还是 0。 见到这么个方程，一般就想 用分解因式法来解。 不过很明显可以看出，这不是个 完全平方的三项式。 因为你可以看这个一次项， 其系数为 10，它的一半为 5。 而 5 的平方不是 －75。 所以这个式子不构成完全平方。 我们希望想办法 把方程的左边转变 为一个完全平方式。 我打算首先摆脱 这个 －75。 以后你会看见有的时候有人把 这个 －75留在方程左边。 我打算把它移到右边去， 这样可以看得清楚一些。 因此在方程两边都加上 75 以消去方程左边的 －75。 这样方程左边等于 x 平方加上 10x 减去 75 再加上 75。 这两项相互抵消了。 我在这里留了位置， 因为要加上一个数 来凑成平方，右边等于 75。 刚才就是在方程两边各加上 75。 现在这一步是 构成平方的关键。 我得在这个方程两边再加上一个数。 我必须在两边都加上同样的数。 而这个数加在左边就是要 凑成一个平方项。 要达到这个目的，从上一个 我们构建一个完全平方的三项式 的视频里知道， 在方程的左边 的表达式里，要构成 一个完全平方，常数项 必须等于一次项系数 的一半的平方。 该一次项系数是 10。 10 的 一半是 5。 5 的 平方是 25。 因此我在左边要加上 25。 当然为了保持该方程依然成立， 在左边进行的任何操作， 也必须在右边进行。 现在我们看到这是个完全平方。 如果问，哪两个数加起来等于 10， 而它们的乘积等于 25？ 这两个数都是 5。 通过分解因式，左边 成为 x + 5 的平方。 x + 5 乘以 x + 5 。 如果不记得分解因式 请看相关的视频。 或者参看上一个有关构建完全平方 的三项式的视频。 建议你把这个平方项展开验算一下 是不是等于上面这个三项式。 右边等于 75 加上 25，就是 100。 现在我们得到某数的平方 等于 100。 因此这里的一项的平方 等于 100，它就等于 100 的平方根之一。 我们知道 100 有两个平方根。 这两个平方根分别是 +10 和 －10。 所以我们可以说， x + 5， 其平方就是 100，它必定是 100 的平方根之一。 它应该等于 100 的正负平方根， 就是 10 或 －10。 分开来讨论。 x + 5 可以等于 10， 或者等于 －10。 对于左边的等式， 两边都减去 5， －我详细写一下。 两边都减去 5，得到 x 等于 5。 而在右边，也可以 从两边都减去 5，得到 x 等于 －15。 因此这个方程的解 就是这两个数。 我们可以对这两个解进行验算，过程用蓝色的笔书写。 我们来验算 5 这个解。 我只验算一个解。 留一个给你。 你自己验算一下看对不对。 把 5 代入式中的 x 变量。 4 乘以 25 加上 40 乘以 5 减去 300， 应该等于 0。 4 乘以 25 等于 100。 40 乘以 5 等于 200。 然后再减去 300。 100 加上 200 再减去 300，的确等于 0。 所以 x 等于 5 是该方程的解。 而且我相信如果你把 x 等于 －15 代入原方程， 也可以证实它也是一个解。